2018-2019学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 测评A（含解析）新人教A版必修

-1-第二章测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.不相交解析:棱台的各条侧棱所在直线相交于一个公共点,而这个公共点在棱台的侧面的各个平面内,即这条侧棱所在直线与其他各个侧面所在平面都有一个公共点,故选B.答案:B2.如图,α∩β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC解析:∵D∈l,l⊂β,∴D∈β,又C∈β,∴CD⊂β;同理,CD⊂平面ABC,∴平面ABC∩平面β=CD.故选C.答案:C3.异面直线a,b分别在平面α,β内,若α∩β=l,则直线l必定()A.分别与a,b相交B.与a,b都不相交C.至少与a,b中一条相交D.至多与a,b中一条相交解析:假设a∥l,b∥l,则a∥b,这与a,b异面矛盾.又a与l共面,b与l共面,所以l至少与a,b中的一条相交.答案:C4.BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC于点D,则图中共有直角三角形的个数是()-2-A.8B.7C.6D.5解析:因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.因为PD⊥BC,PA∩PD=P,所以BC⊥平面PAD,所以AD⊥BC.图中直角三角形有△PAC,△PAD,△PAB,△ABC,△PDC,△PDB,△ADC,△ADB,共8个.答案:A5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,则二面角C-BB1-D1的正切值为()A.B.C.D.解析:∵DB⊥BB1,BC⊥BB1,∴由二面角的平面角的定义知,∠DBC就是二面角C-BB1-D1的平面角.又∠BCD=90°,∴tan∠DBC=.答案:D6.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是()A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥αB.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥βC.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥βD.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α解析:选项A的已知条件中加上m⊂β,那么命题就是正确的,也就是面面垂直的性质定理.选项B错误,容易知道两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项C错误,因为两个平面各有一条与其平行的直线,如果这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项D正确,由n⊥α,n⊥β可得α∥β,又因为m⊥β,所以m⊥α.答案:D7.若正n边形的两条对角线分别与平面α平行,则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α,则n的可能取值是()A.8B.7C.6D.5-3-解析:因为正六边形、正七边形和正八边形中,都存在平行的对角线,而正五边形的对角线均两两相交,满足两平面平行的判定定理的条件,所以n=5满足题意.答案:D8.如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC与BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥BA,则EF与CD所成的角为()A.90°B.45°C.60°D.30°解析:取BC中点H,连接EH,FH,则∠EFH为所求,可证△EFH为直角三角形,EH⊥EF,FH=2,EH=1,∴∠EFH=30°.答案:D9.如图,在正四棱锥S-ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中,E是BC的中点,点P在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的()-4-解析:如图,连接BD与AC相交于点O,连接SO,取SC的中点F,取CD的中点G,连接EF,EG,FG,因为E,F分别是BC,SC的中点,所以EF∥SB,EF⊄平面SBD,SB⊂平面SBD,所以EF∥平面SBD,同理可证EG∥平面SBD,又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面SBD.由题意得SO⊥平面ABCD,AC⊥SO,因为AC⊥BD,又SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD,所以AC⊥平面EFG,所以AC⊥GF,所以点P在直线GF上.答案:A10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()A.B.C.D.解析:在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线,垂足为E,连接BE.⇒C1E⊥平面BDD1B1,∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值.∵BC1=,C1E=,∴sin∠C1BE=.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.设平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=.解析:如图所示,-5-则直线AB,CD确定一个平面ACBD.∵α∥β,∴AC∥BD,∴,∴,解得SD=9.答案:912.若二面角α-l-β是直二面角,A∈α,B∈β,AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,且AA1=A1B1=1,B1B=2,M是直线l上的一个动点,则AM+BM的最小值为.解析:绕二面角的棱l旋转半平面α,使之与半平面β恰好构成一个平面,此时A,B两点在直线l的异侧,连接AB,与l的交点即为使AM+BM为最小值的动点M在直线l上的位置,求得线段AB的长为.答案:13.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱垂直于底面,当四边形A1B1C1D1满足条件时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).解析:由题意可知CC1⊥平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1,要使得B1D1⊥A1C,只要B1D1⊥平面A1CC1.所以只要B1D1⊥A1C1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件.答案:B1D1⊥A1C1(或A1B1C1D1是正方形等,答案不唯一)14.已知在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起使二面角A-BD-C为120°,则点A到△BCD所在平面的距离为.解析:设AC∩BD=O,则翻折后AO⊥BD,CO⊥BD,即∠AOC即为二面角的平面角,所以∠AOC=120°,且AO=1,故d=1×sin60°=.答案:-6-15.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的是.①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角;④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角.解析:易证AC⊥平面SBD,因而AC⊥SB,①正确;AB∥DC,DC⊂平面SCD,故AB∥平面SCD,②正确;由于SA,SC与平面SBD的相对位置一样,因而所成的角相同,③正确.∵AB∥DC,∴AB与SC所成角为∠SCD,是锐角.∵DC⊥SD,DC⊥DA,∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥SA,即DC与SA成直角,④错.答案:①②③三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)已知在空间四边形ABCD中,AC=AD,BC=BD,且E是CD的中点,F是BD的中点.求证:(1)BC∥平面AFE;(2)平面ABE⊥平面ACD.证明:(1)∵E,F分别是CD与BD的中点,∴FE∥BC.∵EF⊂平面AFE,BC⊄平面AFE,∴BC∥平面AFE.(2)∵AC=AD,BC=BD,且E是CD的中点,F是BD的中点,∴AE⊥DC,BE⊥CD.-7-∵EB∩EA=E,∴CD⊥平面AEB.∵CD⊂平面ACD,∴平面ABE⊥平面ACD.17.(6分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.(1)求证:AC⊥B1D;(2)求三棱锥C-BDB1的体积.(1)证明:∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴BB1⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD,∴BB1⊥AC.又∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BD.∵BB1∩BD=B,∴AC⊥平面BB1D.∵B1D⊂平面BDB1,∴AC⊥B1D.(2)解:,∵B1B⊥平面ABCD,∴B1B是三棱锥B1-BDC的高.∴S△BDC·BB1=×2×2×2=.∴三棱锥C-BDB1的体积为.18.(6分)如图,已知AE⊥平面CDE,四边形ABCD为正方形,M,N分别是线段BE,DE的中点.(1)求证:MN∥平面ABCD;(2)若,求EC与平面ADE所成角的正弦值.-8-(1)证明:连接线段BD.在△BDE中,∵M,N分别是线段BE,DE的中点,∴MN为中位线,则MN∥BD.又∵MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴MN∥平面ABCD.(2)解:连接线段AC.∵四边形ABCD为正方形,∴CD⊥AD.又∵AE⊥平面CDE,∴CD⊥AE,且AD∩AE=A,∴CD⊥平面ADE.EC与平面ADE所成角的平面角即为∠CED.在△ACE中,令AE=a,CE=2a,则AC=a,∴CD=a.在△CDE中,sin∠CED=.∴EC与平面ADE所成角的正弦值为.19.(7分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=2,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)求证:平面PAB∥平面EFG;(3)在线段PB上确定一点M,使PC⊥平面ADM,并给出证明.(1)解:∵PD⊥平面ABCD,∴VP-ABCD=×SABCD×PD=×2×2×2=.-9-(2)证明:E,F分别是线段PC,PD的中点,∴EF∥CD,又ABCD为正方形,AB∥CD,∴EF∥AB,又EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.∵E,G分别是线段PC,BC的中点,∴EG∥PB.又EG⊄平面PAB,PB⊂平面PAB,∴EG∥平面PAB.又∵EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.(3)解:当M为线段PB中点时,PC⊥平面ADM.证明如下:取PB中点M,连接DE,EM,AM,∵EM∥BC∥AD,∴A,D,E,M四点共面.由PD⊥平面ABCD,得AD⊥PD,又AD⊥CD,PD∩CD=D,∴AD⊥平面PDC,∴AD⊥PC,又三角形PDC为等腰直角三角形,E为斜边中点,∴DE⊥PC.AD∩DE=D,∴PC⊥平面ADEM,即PC⊥平面ADM.-10-