2018-2019学年高中数学 第二章 随机变量及其分布本章测评（含解析）新人教A版选修2-3

-1-第二章测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若随机变量ξ的分布列如下表所示,则p1等于()ξ-124Pp1A.0B.C.D.1解析:由分布列性质得+p1=1.解得p1=.答案:B2.一个口袋装有大小、形状、质地相同的2个白球和3个黑球,第一次摸出1个白球后放回,则再摸出1个白球的概率是()A.B.C.D.解析:由于是有放回摸球,所以第二次摸出1个白球,与第一次摸出白球无关,即相互独立,所以第二次摸出白球的概率为.答案:C3.已知离散型随机变量X等可能取值1,2,3,…,n,若P(1≤X≤3)=,则n的值为()A.3B.5C.10D.15-2-解析:由已知X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,…,n,所以P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=,n=15.答案:D4.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且P(μ-2σXμ+2σ)=0.9544,P(μ-σXμ+σ)=0.6826.若μ=4,σ=1,则P(5X6)=()A.0.1359B.0.1358C.0.2718D.0.2716解析:P(5X6)=[P(2X6)-P(3X5)]=(0.9544-0.6826)=0.1359.答案:A5.正态分布N1(μ1,),N2(μ2,),N3(μ3,)(其中σ1,σ2,σ3均大于0)所对应的密度函数图象如下图所示,则下列说法正确的是()A.μ1最大,σ1最大B.μ3最大,σ3最大C.μ1最大,σ3最大D.μ3最大,σ1最大解析:在正态分布N(μ,σ2)中,x=μ为正态曲线的对称轴,结合图象可知,μ3最大;又参数σ确定了曲线的形状:σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“高瘦”.故由图象知σ1最大.答案:D6.已知随机变量ξ,η满足ξ+η=8,且ξ服从二项分布B(10,0.6),则E(η)和D(η)的值分别是()A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6解析:由已知得E(ξ)=6,D(ξ)=2.4,所以E(η)=8-E(ξ)=2,D(η)=(-1)2D(ξ)=2.4.答案:B-3-7.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸出正品的条件下,第二次也摸到正品的概率是()A.B.C.D.解析:“第一次摸出正品”记为事件A,“第二次摸出正品”记为事件B.则P(A)=.P(AB)=,则P(B|A)=.答案:C8.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位长度,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是,质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()A.B.C.D.解析:由于质点每次移动一个单位长度,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P必须向右移动两次,向上移动三次,故其概率为.答案:B9.一名篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况),则ab的最大值为()A.B.C.D.解析:由已知,得3a+2b+0×c=2,即3a+2b=2,所以ab=×3a×2b≤.答案:D10.一个盒子里装有6张卡片,上面分别写着如下6个定义域为R的函数:f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,f6(x)=2.现从盒子中进行逐一抽取卡-4-片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡片,则停止抽取,否则继续进行,则抽取次数ξ的数学期望为()A.B.C.D.解析:由于f2(x),f5(x),f6(x)为偶函数,所以随机变量ξ可取1,2,3,4.P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=.所以ξ的分布列为ξ1234PE(ξ)=1×+2×+3×+4×.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.一牧场的10头牛,因误食含疯牛病毒的饲料被感染,已知该病的发病率为0.02,设发病的牛的头数为ξ,则D(ξ)=.解析:由已知ξ服从二项分布:ξ~B(10,0.02),所以D(ξ)=10×0.02×0.98=0.196.答案:0.19612.两名狙击手在一次射击比赛中,狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4,0.1,0.5;狙击手乙得1分、2分3分的概率分别为0.1,0.6,0.3,那么两名狙击手中,获胜希望大的是.解析:设甲得分为X,乙得分为Y,则E(X)=0.4+2×0.1+3×0.5=2.1,E(Y)=1×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2.因为E(X)E(Y),所以乙获胜的希望大.-5-答案:乙13.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,则a=,b=.X-1012Pabc解析:由题意得答案:14.在等差数列{an}中,a4=2,a7=-4.现从{an}的前10项中随机取数,每次取出一个数,取后放回,连续抽取3次,假定每次取数互不影响,那么在这三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为(用数字作答).解析:由a4=2,a7=-4可得等差数列{an}的通项公式为an=10-2n(n=1,2,…,10).由题意,三次取数相当于三次独立重复试验,在每次试验中取得正数的概率为,取得负数的概率为,在三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为.答案:15.在(x+1)9的二项展开式中任取2项,Pi表示取出的2项中有i项系数为奇数的概率.若用随机变量ξ表示取出的2项中系数为奇数的项数i,则随机变量ξ的均值为.解析:∵(x+1)9的展开式中各项的系数为(k=0,1,2,…,9),共10个.∴系数为奇数的有共4个.P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,-6-P(ξ=2)=,∴E(ξ)=0×+1×+2×.答案:三、解答题(本大题共2小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示.据统计,随机变量ξ的分布列如下表:ξ0123P0.10.32aa(1)求a的值和ξ的均值;(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.分析:(1)由概率和为1,求a,利用定义求均值.(2)利用独立事件及互斥事件概率公式求值.解:(1)∵0.1+0.3+2a+a=1,∴3a=0.6.∴a=0.2.∴E(ξ)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7.(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”;事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次,另一个月被投诉0次”;事件A2表示“两个月均被投诉1次”.则由事件的独立性得P(A1)=P(ξ=2)P(ξ=0)=2×0.4×0.1=0.08,P(A2)=[P(ξ=1)]2=0.32=0.09,则P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.17.(15分)某车间在两天内,每天生产10件产品,其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品,而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.-7-(1)求两天全部通过检查的概率;(2)若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度,两天全不通过检查罚300元,通过1天、2天分别奖300元、900元.那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元?分析:(1)运用独立事件同时发生的概率求两天全部通过的概率.(2)列奖金的分布列,求期望.解:(1)随机抽取4件产品进行检查是随机事件.“记第一天通过检查”为事件A,则P(A)=.记“第二天通过检查”为事件B,则P(B)=.因第一天、第二天检查是否通过是相互独立的,所以两天全部通过检查的概率为P(AB)=P(A)P(B)=.(2)记所得奖金为ξ元,则ξ的取值为-300,300,900.P(ξ=-300)=P()=P()P()=.P(ξ=300)=P((A)∪(B))=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=.P(ξ=900)=P(AB)=.所以,ξ的分布列为ξ-300300900PE(ξ)=-300×+300×+900×=260.故该车间在这两天内得到奖金的数学期望是260元.-8-