2018-2019学年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法练习（含解析）新

-1-二综合法与分析法一、选择题1.给出下列四个命题:①若ab0,则;②若ab0,则a-b-;③若ab0,则;④设a,b是互不相等的正数,则|a-b|+≥2.其中正确的命题是()A.①②B.②C.②③D.③④解析:①ab0,则,故①错;②ab0,则,故②对;③中0,故③错;④因为a-b不能确定为正数,故④错.答案:B2.当x1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[3,+∞)D.(-∞,3]解析:要使x+≥a恒成立,只需f(x)=x+的最小值大于等于a即可,而x+=x-1++1≥2+1=3.∴f(x)的最小值为3,∴a≤3.答案:D3.设a,b∈R+,A=,B=,则A,B的大小关系是()-2-A.A≥BB.A≤BC.ABD.AB解析:∵()2=a+2+b,∴A2-B20.又A0,B0,∴AB.答案:C4.若1x10,则下面不等式中正确的是()A.(lgx)2lgx2lg(lgx)B.lgx2(lgx)2lg(lgx)C.(lgx)2lg(lgx)lgx2D.lg(lgx)(lgx)2lgx2解析:∵1x10,∴0lgx1,∴0(lgx)21,0lgx22,lg(lgx)0.又(lgx)2-lgx2=(lgx)2-2lgx=lgx(lgx-2)0,∴0(lgx)2lgx2.∴lg(lgx)(lgx)2lgx2.答案:D5.已知a,b,c为三角形的三边且S=a2+b2+c2,P=ab+bc+ca,则()A.S≥2PB.PS2PC.SPD.P≤S2P解析:∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca,即S≥P.又三角形中|a-b|c,∴a2+b2-2abc2,同理b2-2bc+c2a2,c2-2ac+a2b2,∴a2+b2+c22(ab+bc+ca),即S2P.答案:D二、非选择题6.已知x,y∈R,且1≤x2+y2≤2,z=x2+xy+y2,则z的取值范围是.解析:∵-≤xy≤,∴(x2+y2)≤x2+xy+y2≤(x2+y2).-3-又∵1≤x2+y2≤2,∴≤z≤3.答案:7.若a0,b0,则下列两式的大小关系为lg[lg(1+a)+lg(1+b)].解析:[lg(1+a)+lg(1+b)]=lg[(1+a)(1+b)]=lg[(1+a)(1+b),lg=lg.∵a0,b0,∴a+10,b+10,∴[(a+1)(1+b),∴lg≥lg[(1+a)(1+b).即lg[lg(1+a)+lg(1+b)].答案:≥8.建立一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为元.解析:设水池底长为x(x0)m,则宽为(m).水池造价y=×120+×80-4-=480+320≥480+1280=1760(元),当且仅当x=2时取等号.答案:17609.已知a,b是不相等的正数,且a3-b3=a2-b2.求证:1a+b.解：证明:∵a,b是不相等的正数,且a3-b3=a2-b2,∴a2+ab+b2=a+b.∴(a+b)2=a2+2ab+b2a2+ab+b2=a+b.∴a+b1.要证a+b,只需证3(a+b)4,只需证3(a+b)24(a+b),即3(a2+2ab+b2)4(a2+ab+b2),只需证a2-2ab+b20,只需证(a-b)20,而a,b为不相等的正数,∴(a-b)20一定成立.故而a+b成立.综上,1a+b10.设a0,b0,a+b=1,求证≥8.解：证明:∵a0,b0,a+b=1,∴1=a+b≥2,∴≥4.-5-∴=(a+b)≥2·2+4=8.当且仅当a=b=时,等号成立.∴≥8.三、备选习题1.设x0,y0,且x≠y,求证:(x3+y3(x2+y2.分析:注意到x,y的对称性,可能会想到重要不等式,但后续思路不好展开,故我们可采用分析法,从消去分数指数幂入手.证明:∵x0,y0,且x≠y,∴要证(x3+y3(x2+y2,只需证(x3+y3)2(x2+y2)3,只需证2x3y33x2y2(x2+y2),只需证2xy3(x2+y2),只需证2xyx2+y2只需证(x-y)20.∵x≠y,∴(x-y)20一定成立,故而(x3+y3(x2+y2.-6-