2018-2019学年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法练习（含解析）新

-1-三反证法与放缩法一、选择题1.设M=+…+,则()A.M=1B.M1C.M1D.M与1大小关系不确定解析:分母全换成210,共有210个单项.答案:B2.设x0,y0,A=,B=,则A与B的大小关系为()A.A≥BB.A=BC.ABD.AB解析:∵x0,y0,∴A==B.答案:D3.用反证法证明“如果ab,那么”的假设内容应是()A.B.C.D.答案:D4.已知a,b∈R+,下列各式中成立的是()A.cos2θlga+sin2θlgblg(a+b)B.cos2θlga+sin2θlgblg(a+b)C.=a+b-2-D.a+b解析:cos2θlga+sin2θlgbcos2θlg(a+b)+sin2θlg(a+b)=lg(a+b).答案:A5.对“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列判断:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②ab与ab及a≠c中至少有一个成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.其中判断正确的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:对于①,假设(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,这时a=b=c,与已知矛盾,故(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0,故①正确.对于②,假设ab与ab及a≠c都不成立,这时a=b=c,与已知矛盾,故ab与ab及a≠c中至少有一个成立,故②正确.对于③,显然不正确.答案:C二、非选择题6.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)||x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|.那么它的假设应该是.答案:|f(x1)-f(x2)|≥7.设a,b,c均为正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR0”是“P,Q,R同时大于零”的条件.解析:必要性是显然成立的;当PQR0时,若P,Q,R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P0,Q0,R0,则Q+R=2c0,这与c0矛盾,即充分性也成立.答案:充要-3-8.设a,b∈R,0≤x≤1,0≤y≤1,求证:对于任意实数a,b必存在满足条件的x,y,使|xy-ax-by|≥成立.解：证明:假设对一切0≤x≤1,0≤y≤1,结论不成立,则有|xy-ax-by|.令x=0,y=1,有|b|.令x=1,y=0,有|a|;令x=y=1,得|1-a-b|.这与|1-a-b|≥1-|a|-|b|1-矛盾,故假设不成立,原命题结论正确.9.已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)设数列{an}的通项an=loga(其中a0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.解:(1)设数列{bn}的公差为d,由题意,得∴b1=1,d=3.∴数列{bn}的通项公式为bn=3n-2.-4-(2)当a1时,Snlogabn+1(n∈N+);当0a1时,Snlogabn+1(n∈N+).证明如下:∵bn=3n-2,∴an=loga=loga.∴Sn=a1+a2+…+an=loga.又logabn+1=loga.∴比较Sn与logabn+1的大小,即比较×…×的大小.记An=×…×,Bn=.∵1,∴对任意n∈N+,都有0.∴,-5-从而×…××…×=3n+1=.∴AnBn(n∈N+).由对数的单调性,可得当a1时,Snlogabn+1(n∈N+);当0a1时,Snlogabn+1(n∈N+).三、备选习题1.求证:1++…+3.解：证明:由(k是大于2的自然数),得1++…+1+1++…+=1+=3-3.故原不等式成立.2.已知x0,y0,且x+y2,试证:中至少有一个小于2.解：证明:假设都不小于2,即-6-≥2,且≥2.因为x0,y0,所以1+x≥2y,且1+y≥2x.把这两个不等式相加,得2+x+y≥2(x+y),从而x+y≤2,这与已知条件x+y2矛盾.因此,都不小于2是不可能的,即原命题成立.