2018-2019学年高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法练习（含解析）新人

-1-数学归纳法一、选择题1.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么下列命题总成立的是()A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)49成立,则当k≥8时,均有f(k)k2成立D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立答案:D2.数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2),而a1=1,猜想an等于()A.B.C.D.答案:B3.设f(n)=1++…+(n∈N+),则f(n+1)-f(n)等于()A.B.C.D.解析:因为f(n)=1++…+,-2-所以f(n+1)=1++…+.所以f(n+1)-f(n)=.答案:D4.在数列{an}中,a1=-1,前n项和Sn=-1,先算出数列的前4项的值,根据这些值归纳猜想数列的通项公式是()A.an=-1B.an=n-1C.an=D.an=解析:由题意,可知S2=a1+a2=-1,∴a2=-1-+1=;S3=a1+a2+a3=-1,∴a3=S3-S2=,同理,可得a4=S4-S3=,故可猜想an=.答案:D5.用数学归纳法证明:1+a+a2+…+an+1=(a≠1),在验证n=1时,左边计算所得的项为()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3解析:令n=1,则等式左边=1+a+a2.-3-答案:C二、非选择题6.用数学归纳法证明“1+2+22+23+…+25n-1(n∈N+)是31的倍数”时,当n=1时,原式=,从k到k+1时需添加的项是.答案:1+2+22+23+2425k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+47.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个数对是.解析:设每个数对内的两数之和为k,则组成数对的个数为ak=k-1,k=2,3,…,则由不等式Sk=60,得k(k-1)120,则k的最大整数值为11,且S11==55,则第56个数对之和为12,即(1,11),后面的依次为(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),所以第60个数对为(5,7).答案:(5,7)8.如图,第n个图形是由正(n+2)边形“扩展”而来(n=1,2,3,…),则第(n-2)个图形中共有个顶点.解析:设an为第n个图形的顶点数,则由题图可知:第1个图形有6个顶点,a1=6;第2个图形有12个顶点,a2=12;第3个图形有20个顶点,a3=20;第4个图形有30个顶点,a4=30;第5个图形有42个顶点,a5=42;……则an=(n+1)(n+2),∴an-2=(n-1)n=n2-n.-4-答案:n2-n9.求证:n棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)=n(n-3)(n∈N+,n≥4).解：证明:(1)当n=4时,四棱柱有2个对角面,×4×(4-3)=2,命题成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥4)时命题成立,即符合条件的棱柱的对角面个数是f(k)=k(k-3),现在考虑当n=k+1时的情形,第k+1条棱Ak+1Bk+1与其余和它不相邻的k-2条棱分别增加了1个对角面,共(k-2)个,而面A1B1BkAk变成了对角面,因此对角面的个数变为f(k)+(k-2)+1=k(k-3)+k-1=(k2-3k+2k-2)=(k-2)(k+1)=(k+1)[(k+1)-3],即f(k+1)=(k+1)[(k+1)-3].由(1)(2)可知,命题对任意n≥4,n∈N+都成立.10.求证:+…+.解：证明:(1)当n=1时,左边=,右边=.-5-故等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时等式成立,即+…+成立,那么当n=k+1时,+…+===,即当n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知,对任何n∈N+等式成立.