2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（一）命题（含解析）新人教A版选修1-1

1课时跟踪检测（一）命题层级一学业水平达标1．下列语句不是命题的有()①若ab，bc，则ac；②x2；③34；④函数y＝ax(a0，且a≠1)在R上是增函数．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选C①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3D．4解析：选B①③错误；②④正确．3．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4B．2C．0D．－3解析：选C方程无实根时，应满足Δ＝a2－40.故a＝0时适合条件．4．下列命题中，为真命题的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切解析：选B等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝221，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．5．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；2②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2x，则x1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2x，得x0或x1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C.6．下列语句中是命题的有________(填序号)，其中是真命题的有________(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④△ABC中，若∠A＝∠B，则sinA＝sinB；⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；②是假命题，0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；④是真命题；⑤祈使句，不是命题．答案：②③④④7．给出下列命题：①22340能被3或5整除；②不存在x∈R，使得x2＋x＋10；③对任意的实数x，均有x＋1x；④方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实根．其中假命题有________．(填序号)解析：易知①②③为真命题；④中Δ＝4－120，方程x2－2x＋3＝0无实根，因而④为假命题．答案：④8．若命题“ax2－2ax－30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：∵ax2－2ax－30不成立，∴ax2－2ax－3≤0恒成立．当a＝0时，－3≤0恒成立；3当a≠0时，则有a0，Δ＝4a2＋12a≤0，解得－3≤a0.综上，－3≤a≤0.答案：[－3,0]9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当m14时，mx2－x＋1＝0无实根；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行；(4)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．解：(1)原命题可以改写成：若m14，则mx2－x＋1＝0无实根．因为Δ＝1－4m0，所以是真命题．(2)原命题可以改写成：“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．(3)原命题可以改写成：“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．(4)原命题可以改写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．这个命题是真命题．10．已知A：5x－1a，B：x1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x1＋a5，则x1”．由命题为真命题可知1＋a5≥1，解得a≥4；若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x1，则x1＋a5”．由命题为真命题可知1＋a5≤1，解得a≤4.故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x1，则x25”．层级二应试能力达标1．下列命题为真命题的是()A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝14C．若x＝y，则x＝yD．若xy，则x2y2解析：选A很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．故选A.2．设l1，l2表示两条直线，α表示平面，若有：①l1⊥l2，②l1⊥α，③l2⊂α，则以其中两个为条件，另一个为结论，可以构造的所有命题中，真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B由l1⊥α，l2⊂α，得l1⊥l2；由l1⊥l2，l2⊂α推不出l1⊥α；由l1⊥l2，l1⊥α，推不出l2⊂α，也可能l2∥α.故真命题有1个．3．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是()A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思解析：选A“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.4．下面的命题中是真命题的是()A．y＝sin2x的最小正周期为2πB．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则ca0C．如果M⊆N，那么M∪N＝MD．在△ABC中，若AB―→·BC―→0，则B为锐角解析：选By＝sin2x＝1－cos2x2，T＝2π2＝π，故A为假命题；当M⊆N时，M∪N＝N，故C为假命题；在三角形ABC中，当AB―→·BC―→0时，向量AB―→与BC―→的夹角为锐角，B应为钝角，故D为假命题．故选B.5．命题“若a0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”条件p：________，结论q：___________________________.它是______命题(填“真”或“假”)．解析：a0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得5－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域(包括边界)，∴命题为真命题．答案：a0二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)真6．函数f(x)的定义域为A，若当x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时，总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)解析：由x21＝x22，未必有x1＝x2，故①为假命题；对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2”，故③为真命题．故真命题是②③.答案：②③7．已知p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．解：若命题p为真命题，由x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥m，可知m≤1；若命题q为真命题，则7－3m1，即m2.命题p和q中有且只有一个是真命题，则p真q假或p假q真，即m≤1，m≥2或m1，m2，所以1m2.故实数m的取值范围是(1,2)．8．试探究命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题时，a，b满足的条件．解：方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当a＝0时，方程ax2＋bx＋1＝0为bx＋1＝0，只有当b≠0时，方程有实数解x＝－1b；当a≠0时，方程ax2＋bx＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b2－4a≥0.综上知，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有实数解．6