2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（七）综合法与分析法（含解析）新人教A版选修4-5

1课时跟踪检测（七）综合法与分析法1．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，那么a，b，c的大小关系是()A．abcB．acbC．bacD．bca解析：选B由已知，可得出a＝422，b＝47＋3，c＝46＋2，∵7＋36＋222.∴bca.2．a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是()A.ab＋ba≥2B.b2a＋a2b≥a＋bC.ba2＋ab2≤a＋babD.1a2＋1b2≥2ab解析：选CA项满足基本不等式；B项可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0，正确；C项中不等式可化为a3＋b3≤a2b＋ab2，即(a＋b)(a－b)2≤0，所以C项不正确；D项是A项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确．3．已知m＞1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a，b大小不定解析：选B∵a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1.而m＋1＋m＞m＋m－1＞0(m＞1)，∴1m＋1＋m＜1m＋m－1，即ab.4．已知a，b，c为三角形的三边且S＝a2＋b2＋c2，P＝ab＋bc＋ca，则()A．S≥2PB．PS2PC．SPD．P≤S2P解析：选D∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，即S≥P.又三角形中|a－b|c，∴a2＋b2－2abc2，同理b2－2bc＋c2a2，c2－2ac＋a2b2，2∴a2＋b2＋c22(ab＋bc＋ca)，即S2P.5．设a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，若M＝1a－1·1b－1·1c－1，则M的取值范围是________．解析：∵a＋b＋c＝1，∴M＝1a－1·1b－1·1c－1＝a＋b＋ca－1·a＋b＋cb－1·a＋b＋cc－1＝ba＋ca·ab＋cb·ac＋bc≥2bca2·2acb2·2abc2＝8.即M的取值范围是[8，＋∞)．答案：[8，＋∞)6．已知a0，b0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，1R是1a，1b的等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为________．解析：∵P＝a＋b2，Q＝ab，2R＝1a＋1b，∴R＝2aba＋b≤Q＝ab≤P＝a＋b2，当且仅当a＝b时取等号．答案：P≥Q≥R7．设abc，且1a－b＋1b－c≥ma－c恒成立，则m的取值范围是________．解析：∵abc，∴a－b0，b－c0，a－c0.又(a－c)·1a－b＋1b－c＝[(a－b)＋(b－c)]·1a－b＋1b－c≥2a－bb－c·21a－b·1b－c＝4，当且仅当a－b＝b－c时取等号．∴m∈(－∞，4]．答案：(－∞，4]8．已知a，b，c都是正数，求证：a2b2＋b2c2＋c2a2a＋b＋c≥abc.证明：因为b2＋c2≥2bc，a20，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.①3同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c.②c2(a2＋b2)≥2abc2.③①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c0，因此a2b2＋b2c2＋c2a2a＋b＋c≥abc，当且仅当a＝b＝c时取等号．9．设a，b，c0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥3；(2)abc＋bac＋cab≥3(a＋b＋c)．证明：(1)要证a＋b＋c≥3，由于a，b，c＞0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故只需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而这可以由ab＋bc＋ca≤a2＋b22＋b2＋c22＋c2＋a22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．所以原不等式成立．(2)abc＋bac＋cab＝a＋b＋cabc.在(1)中已证a＋b＋c≥3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a＋b＋c，即证abc＋bac＋cab≤1，即证abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca.而abc＝ab·ac≤ab＋ac2，bac≤ab＋bc2，cab≤bc＋ac2.所以abc＋bac＋cab≤ab＋bc＋ca4(当且仅当a＝b＝c＝33时等号成立)．所以原不等式成立．10．设实数x，y满足y＋x2＝0,0a1，求证：loga(ax＋ay)18＋loga2.证明：因为ax0，ay0，所以ax＋ay≥2ax＋y＝2ax－x2.因为x－x2＝x(1－x)≤x＋－x22＝14，又因为0a1，所以ax－x2≥a14，当x＝12时，等式成立．但当x＝12，ax≠a－x2，∴ax－x2a18.所以ax＋ay＞2a18，又∵0a1，所以loga(ax＋ay)loga2a18.即loga(ax＋ay)loga2＋18.5