2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（二）极坐标系（含解析）新人教A版选修4-4

1课时跟踪检测(二)极坐标系一、选择题1．已知点M的极坐标是－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点的坐标是()A.2，11π6B.－2，7π6C.2，－π6D.－2，－11π6解析：选B在极坐标系中，描点－2，－π6时，先找到角－π6的终边，再在其反向延长线上找到离极点2个单位长度的点，即为点－2，－π6.直线θ＝π2就是极角为π2的那些点的集合．故M－2，－π6关于直线θ＝π2对称的点为2，π6，但选项中没有此点，2，π6还可以写成－2，7π6，故选B.2．点M的直角坐标为(－3，－1)，化为极坐标是()A.2，5π6B.2，7π6C.2，11π6D.2，π6解析：选B∵点M的直角坐标为(－3，－1)，∴ρ＝－32＋－2＝2，又点M位于第三象限，且tanθ＝－1－3＝33，∴可取θ＝7π6，故选B.3．极坐标系中的点A2，π3到圆x2＋y2－2x＝0的圆心的距离为()A．2B．1C．3D.3解析：选D点A的极坐标2，π3化为直角坐标为(1，3)，圆x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，由两点间的距离公式得所求距离为3.4．在复平面内，设点P对应的复数为1＋i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为()A.2，π4B.－2，3π4C.1，34πD.－1，π42解析：选A设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ0)，∵点P的直角坐标为(1,1)，∴ρ＝|OP|＝2，θ＝π4，故选A.二、填空题5．极点的极坐标为________．解析：因为极点对应的极径为0，极角为任意角，所以极点的极坐标为(0，θ)(θ∈R)．答案：(0，θ)(θ∈R)6．在极坐标系中，已知A1，3π4，B2，π4两点，则|AB|＝________.解析：|AB|＝12＋22－2×1×2cos3π4－π4＝5.答案：57．直线l过点A3，π3，B3，π6，则直线l与极轴夹角的大小为________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．因为|AO|＝|BO|＝3，∠AOB＝π3－π6＝π6，所以∠OAB＝π－π62＝5π12，所以∠ACO＝π－π3－5π12＝π4.答案：π4三、解答题8．在极轴上求与点A42，π4的距离为5的点M的坐标．解：设M(r,0)，因为A42，π4，所以22＋r2－82r·cosπ4＝5，即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7.3所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．9．(1)已知点的极坐标分别为A3，－π4，B2，4π3，C32，3π2，D6，7π4，求它们的直角坐标．(2)已知点的直角坐标分别为A(6，2)，B0，－63，C()－6，－2，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得A322，－322，B(－1，－3)，C0，－32，D(32，－32)．(2)根据ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx，得A22，π6，B63，3π2，C22，7π6.10．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A2，π3，B(2，π)，C2，5π3.(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．解：(1)如图，由A2，π3，B()2，π，C2，5π3，得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝2π3.所以△AOB≌△BOC≌△AOC，所以|AB|＝|BC|＝|CA|，故△ABC为等边三角形．(2)由上述可知，|AC|＝2|OA|sinπ3＝2×2×32＝23.4所以S△ABC＝12×23×23×32＝33.