2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（六）椭圆及其标准方程（含解析）新人教A版选修1-1

1课时跟踪检测（六）椭圆及其标准方程层级一学业水平达标1．若椭圆x225＋y24＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为()A．6B．7C．8D．9解析：选B根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝7.2．若椭圆x2m＋y24＝1的焦距为2，则m的值为()A．5B．3C．5或3D．8解析：选C由题意得c＝1，a2＝b2＋c2.当m4时，m＝4＋1＝5；当m4时，4＝m＋1，∴m＝3.3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a|AB|时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x2a2＋y2a＋6＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A．a3B．a－2C．a3或a－2D．a3或－6a－2解析：选D由a2a＋60得a2－a－60，a＋60，所以a－2或a3，a－6，所以a3或－6a－2.5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝23，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()2A.x212＋y29＝1B.x212＋y29＝1或x29＋y212＝1C.x29＋y212＝1D.x248＋y245＝1或x245＋y248＝1解析：选B由已知2c＝|F1F2|＝23，∴c＝3.∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝43，∴a＝23.∴b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.6．已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，∴在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，∴|AB|＝8.答案：87．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________________．解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为x216＋y212＝1.法二：依题意，可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4，解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16.所以椭圆C的标准方程为x216＋y212＝1.3答案：x216＋y212＝18．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，∴12×8b＝12，∴b＝3.又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.∴椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.答案：x225＋y29＝19．求符合下列条件的椭圆的标准方程．(1)过点63，3和223，1；(2)过点(－3,2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦点．解：(1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)．∵椭圆过点63，3和223，1，∴m·632＋n32＝1，m·2232＋n·12＝1，解得m＝1，n＝19.∴所求椭圆的标准方程为x2＋y29＝1.(2)由题意得已知椭圆x29＋y24＝1中a＝3，b＝2，且焦点在x轴上，∴c2＝9－4＝5.∴设所求椭圆方程为x2a′2＋y2a′2－5＝1.∵点(－3,2)在所求椭圆上，∴9a′2＋4a′2－5＝1.∴a′2＝15或a′2＝3(舍去)．∴所求椭圆的标准方程为x215＋y210＝1.410．已知椭圆y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．解：(1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－34a2＝1，即14a2＝1，所以a2＝4，b2＝3，故椭圆的标准方程为y24＋x23＝1.(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4.又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝52，|PF2|＝32.又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝522＋322－222×52×32＝35.故∠F1PF2的余弦值等于35.层级二应试能力达标1．下列说法中正确的是()A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选CA中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋2＋32＋－2＋32＝410|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选C.2．椭圆x225＋y29＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1―→·PF2―→＝0，则△F1PF2的面积为()5A．9B．12C．10D．8解析：选A∵PF1―→·PF2―→＝0，∴PF1⊥PF2.∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且|PF1|＋|PF2|＝2a.又a＝5，b＝3，∴c＝4，∴|PF1|2＋|PF2|2＝64，①|PF1|＋|PF2|＝10.②②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|·|PF2|＝18，∴△F1PF2的面积为S＝12·|PF1|·|PF2|＝9.3．若α∈0，π2，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是()A.π4，π2B.0，π4C.0，π4D.π4，π2解析：选A易知sinα≠0，cosα≠0，方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为x21sinα＋y21cosα＝1.因为椭圆的焦点在y轴上，所以1cosα1sinα0，即sinαcosα0.又α∈0，π2，所以π4απ2.4．已知P为椭圆x225＋y216＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5B．7C．13D．15解析：选B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心：且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.5．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________．解析：易知k≠0，方程2kx2＋ky2＝1变形为y21k＋x212k＝1，6所以1k－12k＝16，解得k＝132.答案：1326．已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝12|AN|，|GF2|＝12|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.答案：127．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．解：法一：设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)，由已知条件得2a＝5＋3，c2＝52－32，解得a＝4，c＝2，所以b2＝a2－c2＝12.于是所求椭圆的标准方程为x216＋y212＝1或y216＋x212＝1.法二：设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)，两个焦点分别为F1，F2.由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4.在方程x2a2＋y2b2＝1中，令x＝±c，得|y|＝b2a；在方程y2a2＋x2b2＝1中，令y＝±c，得|x|＝b2a.依题意有b2a＝3，得b2＝12.于是所求椭圆的标准方程为x216＋y212＝1或y216＋x212＝1.78.如图在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．解：如图，连接MA.由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，故a＝52，c＝1，b2＝a2－c2＝254－1＝214.故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.