2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十三）变化率问题 导数的概念（含解析）新人教A版选修1

1课时跟踪检测（十三）变化率问题导数的概念层级一学业水平达标1．已知函数f(x)＝1－2x从x＝1到x＝2的平均变化率为k1，从x＝－2到x＝－1的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()A．k1＞k2B．k1＝k2C．k1＜k2D．不确定解析：选B由平均变化率的几何意义知k1＝k2.故选B.2．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26m/s，则实数m的值为()A．2B．1C．－1D．6解析：选B由已知，得s－s3－2＝26，即(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1，选B.3．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为()A．6B．18C．54D．81解析：选B∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2.∴ΔsΔt＝18＋3Δt.∴limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0(18＋3Δt)＝18，故应选B.4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b解析：选Cf′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0(a＋b·Δx)＝a.5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝()A．Δx－3B．(Δx)2－3ΔxC．－3D．02解析：选Cf′(0)＝limΔx→0＋Δx2－＋Δx－02＋3×0Δx＝limΔx→0x2－3ΔxΔx＝limΔx→0(Δx－3)＝－3.故选C.6.如图是函数y＝f(x)的图象．(1)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________；(2)函数f(x)在区间[2,4]上的平均变化率为________．解析：(1)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f－f2－0＝12.(2)函数f(x)在区间[2,4]上的平均变化率为f－f4－2＝5－12＝2.答案：(1)12(2)27．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.解析：∵f′(1)＝limΔx→0f＋Δx－fΔx＝limΔx→0a＋Δx＋4－a＋Δx＝a，∴a＝2.答案：28．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．解析：∵Δy＝43π×23－43π×13＝28π3，∴ΔyΔx＝28π32－1＝28π3.答案：28π39．求函数y＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝－12时该函数的平均变化率．解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx＝x0＋Δx2＋3]－x20＋Δx＝4x0Δx＋x2Δx＝4x0＋2Δx.3当x0＝2，Δx＝－12时，平均变化率的值为4×2＋2×－12＝7.10．求函数y＝f(x)＝x2＋x＋1在x＝1处的导数．解：根据导数的定义：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋(1＋Δx)＋1－3＝(Δx)2＋3Δx，则ΔyΔx＝x2＋3ΔxΔx＝Δx＋3，所以f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(Δx＋3)＝3，即函数f(x)＝x2＋x＋1在x＝1处的导数为3.层级二应试能力达标1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx等于()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2解析：选CΔyΔx＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2－4＋2Δx＝x2＋4ΔxΔx＝2Δx＋4.2.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是()A．v甲＞v乙B．v甲＜v乙C．v甲＝v乙D．大小关系不确定解析：选B设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．3．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋3t(t的单位是s，s是单位是m)，则它在4s末的瞬时速度为()4A.12316m/sB.12516m/sC．8m/sD.674m/s解析：选B由已知，得物体在4s末的瞬时速度为limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0＋Δt2＋34＋Δt－16－34Δt＝limΔx→0t2＋8Δt＋－3Δt＋ΔtΔt＝limΔx→0Δt＋8－316＋4Δt，∴limΔx→0ΔsΔt＝8－316＝12516.4．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足limΔx→0fxΔx＝－1，则f′(0)＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：选B∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝limΔx→0f＋Δx－fΔx＝limΔx→0fxΔx＝－1，∴选B.5．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.解析：ΔsΔt＝t0＋Δt2＋8－t20＋Δt＝7Δt＋14t0，当limΔx→0(7Δt＋14t0)＝1时，t＝t0＝114.答案：1146．已知f(x)＝2x，且f′(m)＝－12，则m＝________.解析：f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝－2x2，于是有－2m2＝－12，m2＝4，解得m＝±2.答案：±27．已知函数f(x)＝－1x，x0，1＋x2，x≤0求f′(4)·f′(－1)的值．5解：当x＝4时，Δy＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx＝4＋Δx－224＋Δx＝Δx24＋Δx4＋Δx＋.∴ΔyΔx＝124＋Δx4＋Δx＋.∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0124＋Δx4＋Δx＋＝12×44＋＝116.∴f′(4)＝116.当x＝－1时，ΔyΔx＝f－1＋Δx－f－Δx＝1＋－1＋Δx2－1－－2Δx＝Δx－2，由导数的定义，得f′(－1)＝limΔx→0(Δx－2)＝－2，∴f′(4)·f′(－1)＝116×(－2)＝－18.8．设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．(1)limΔx→0fx0－mΔx－fx0Δx；(2)limΔx→0fx0＋4Δx－fx0＋5ΔxΔx.解：(1)limΔx→0fx0－mΔx－fx0Δx＝－mlimΔx→0fx0－mΔx－fx0－mΔx＝－mf′(x0)．(2)原式＝limΔx→0fx0＋4Δx－fx0－[fx0＋5Δx－fx0]Δx＝limΔx→0fx0＋4Δx－fx0Δx－limΔx→0fx0＋5Δx－fx0Δx＝4limΔx→0fx0＋4Δx－fx04Δx－5limΔx→0fx0＋5Δx－fx05Δx＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．6