2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（十八）函数的极值与导数（含解析）新人教A版选修1-1

1课时跟踪检测（十八）函数的极值与导数层级一学业水平达标1．“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若函数f(x)在x＝x0处有极值，则一定有f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x＝x0处不一定有极值．所以“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件，选B.2．函数f(x)＝32x2－lnx的极值点为()A．0,1，－1B.33C．－33D.33，－33解析：选B由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－1x＝3x2－1x，令f′(x)＝0，得x＝33x＝－33舍去.当x＞33时，f′(x)＞0；当0＜x＜33时，f′(x)＜0.所以当x＝33时，f(x)取得极小值．从而f(x)的极小值点为33，无极大值点，选B.3．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值解析：选C由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)0，x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x＝0取得极大值，x＝2取得极小值，x＝4取得极大值，因此选C.4．若函数f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，则a的值是()2A．0B．1C．5D．6解析：选D∵f(x)＝2x3－3x2＋a，∴f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1，经判断易知极大值为f(0)＝a＝6.5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.427，0B．0，427C．－427，0D．0，－427解析：选Af′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0得，3－2p－q＝0，1－p－q＝0，解得p＝2，q＝－1，∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝13或x＝1，易得当x＝13时f(x)取极大值427.当x＝1时f(x)取极小值0.6．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析：f′(x)＝3x2－6x，解方程f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由上表知，函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝2处取得极小值．答案：27．函数f(x)＝ax2＋bx在x＝1a处有极值，则b的值为________．解析：f′(x)＝2ax＋b，∵函数f(x)在x＝1a处有极值，3∴f′1a＝2a·1a＋b＝0，即b＝－2.答案：－28.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)①当x＝32时，函数f(x)取得最小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．解析：由图象可知，x＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y＞0；x∈(1,2)时，y＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故③④正确．答案：①9．求下列函数的极值．(1)f(x)＝lnxx；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.解：(1)函数f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－lnxx2.由f′(x)＝0得lnx＝1，即x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)1e所以f(x)极大值＝f(e)＝1e，无极小值．(2)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝x2＋－4x2x2＋2＝－x－x＋x2＋2.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)－3－14所以当x＝－1时，函数有极小值，且f(x)极小值＝f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且f(x)极大值＝f(1)＝－1.10．若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)求函数的极值．解：(1)f′(x)＝3ax2－b，由题意知f＝12a－b＝0，f＝8a－2b＋4＝－43，解得a＝13，b＝4，∴f(x)＝13x3－4x＋4.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x＝－2时，f(x)有极大值283，当x＝2时，f(x)有极小值－43.层级二应试能力达标1．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为()A．1，－3B．1,3C．－1,3D．－1，－3解析：选A∵f′(x)＝3ax2＋b，由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，∴3a＋b＝0，a＋b＝－2，∴a＝1，b＝－3.2．设函数f(x)＝exsinx，x∈[0，π]，则()A.π2为f(x)的极小值点B.π2为f(x)的极大值点5C.3π4为f(x)的极小值点D.3π4为f(x)的极大值点解析：选D∵f(x)＝exsinx，∴f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＝2exsinx＋π4，由f′(x)≤0，得sinx＋π4≤0，∴2kπ＋π≤x＋π4≤2kπ＋2π，k∈Z，即2kπ＋3π4≤x≤2kπ＋7π4，k∈Z.∵x∈[0，π]，∴f(x)在0，3π4上单调递增，f(x)在3π4，π上单调递减，∴x＝3π4为f(x)的极大值点．3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是()A．(－1,2)B．(－3,6)C．(－∞，－3)∪(6，＋∞)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选Cf′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)0，∴a－3或a6.4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则()A．a＜－1B．a＞－1C．a＜－1eD．a＞－1e解析：选A∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln(－a)．又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于______．解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；x∈(0,4)时，y′＞0，∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.答案：－196．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______．6解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，则f′(－1)f′(1)0，即(1－a)(5－a)0，解得1a5，另外，当a＝1时，函数f(x)＝x3＋x2－x－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a＝5时，函数f(x)＝x3＋x2－5x－4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a的范围为[1,5)．答案：[1,5)7．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)ex－12.令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．8．已知函数f(x)＝ax－aex(a∈R，a≠0)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x＋1ex，f′(x)＝x－2ex.由f′(x)＝0，得x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，2)2(2,＋∞)f′(x)－0＋7f(x)极小值所以函数f(x)的极小值为f(2)＝－1e2，函数f(x)无极大值．(2)F′(x)＝f′(x)＝aex－ax－axe2x＝－ax－ex.①当a0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：x(－∞，2)2(2，＋∞)F′(x)－0＋F(x)极小值若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝ae2＋10，解得a－e2，所以此时－e2a0；②当a0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：x(－∞，2)2(2，＋∞)F′(x)＋0－F(x)极大值当x2时，F(x)＝ax－ex＋11，当x2时，令F(x)＝ax－ex＋10，即a(x－1)＋ex0，由于a(x－1)＋exa(x－1)＋e2，令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－e2a，即x≤1－e2a时，F(x)0，所以F(x)总存在零点，综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,，0)．8