2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（四）数学归纳法（含解析）北师大版选修2-2

1课时跟踪检测（四）数学归纳法1．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.13n＋2B.13n＋13n＋1C.13n＋1＋13n＋2D.13n＋13n＋1＋13n＋2解析：选D要注意末项与首项，所以f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.2．在用数学归纳法证明“2nn2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0＝()A．1B．3C．5D．7解析：选Cn的取值与2n，n2的取值如下表：n123456……2n248163264……n2149162536……由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n4，即n≥5时，恒有2nn2.3．设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是()A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1C．f(k＋1)＝f(k)＋kD．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2解析：选C当n＝k＋1时，任取其中1条直线记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而n＝k＋1时交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)．4．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n1324的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为()A．增加1k＋B．增加12k＋1＋1k＋C．增加12k＋1＋1k＋，减少1k＋12D．增加1k＋，减少1k＋1解析：选C当n＝k时，不等式的左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋1k＋k，当n＝k＋1时，不等式的左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋1k＋＋k＋，又1k＋2＋1k＋3＋…＋1k＋＋k＋－1k＋1＋1k＋2＋…＋1k＋k＝12k＋1＋1k＋－1k＋1，所以由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加12k＋1＋1k＋，减少1k＋1.5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设当n＝k时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1，所以，当n＝k＋1时等式成立．由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立．上述证明的错误是________．解析：当n＝k＋1时正确的解法是1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1，即一定用上第二步中的假设．答案：没有用上归纳假设进行递推6．用数学归纳法证明121×3＋223×5＋…＋n2n－n＋＝nn＋n＋，推证当n＝k＋1时等式也成立时，只需证明等式____________________________________成立即可．解析：当n＝k＋1时，121×3＋223×5＋…＋k2k－k＋＋k＋12k＋k＋＝kk＋k＋＋k＋2k＋k＋，故只需证明kk＋k＋＋k＋2k＋k＋＝k＋k＋k＋即可．答案：kk＋k＋＋k＋2k＋k＋＝k＋k＋k＋37．数列{an}满足an0(n∈N＋)，Sn为数列{an}的前n项和，并且满足Sn＝12an＋1an，求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．解：由an0，得Sn0，由a1＝S1＝12a1＋1a1，整理得a21＝1，取正根得a1＝1，所以S1＝1.由S2＝12a2＋1a2及a2＝S2－S1＝S2－1，得S2＝12S2－1＋1S2－1，整理得S22＝2，取正根得S2＝2.同理可求得S3＝3.由此猜想Sn＝n.用数学归纳法证明如下：(1)当n＝1时，上面已求出S1＝1，结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，结论成立，即Sk＝k.那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝12ak＋1＋1ak＋1＝12Sk＋1－Sk＋1Sk＋1－Sk＝12Sk＋1－k＋1Sk＋1－k.整理得S2k＋1＝k＋1，取正根得Sk＋1＝k＋1.即当n＝k＋1时，结论也成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N＋，Sn＝n都成立．8．用数学归纳法证明1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N＋)．解：(1)当n＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，且32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n＝k(n∈N＋)时，命题成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k1＋k2＋2k·12k＋1＝1＋k＋12.4又1＋12＋13＋…＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N＋都成立．