2018-2019学年高中数学 课时跟踪训练（二十三）直线的方向向量与平面的法向量（含解析）苏教版选

1课时跟踪训练(二十三)直线的方向向量与平面的法向量1．若直线l⊥平面α，且l的方向向量为(m,2,4)，平面α的法向量为12，1，2，则m为________．2．设A是空间任意一点，n为空间任一非零向量，则适合条件AM·n＝0的点M的轨迹是________．3．设直线l1的方向向量为a＝(2，－1,2)，直线l2的方向向量为b＝(1,1，m)，若l1⊥l2，则m＝________.4．在空间中，已知平面α过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点C(0,0，a)(a0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.5．已知a＝(1,4,3)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝________，y＝________.6．已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2)，(1)写出直线BC的一个方向向量；(2)设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任一点，试写出x、y、z满足的关系式．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面A1BC1的一个法向量；(3)若M为CD的中点，求平面AMD1的一个法向量．8.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是长方体，建立的空间直角坐标2系如图所示．AB＝3，BC＝4，AA1＝2.(1)求平面B1CD1的一个法向量；(2)设M(x，y，z)是平面B1CD1内的任意一点，求x，y，z满足的关系式．答案1．解析：∵l的方向向量与平面α的法向量平行．∴m12＝21＝42.∴m＝1.答案：12．解析：AM·n＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念．答案：过点A且与向量n垂直的平面3．解析：∵l1⊥l2，∴2－1＋2m＝0.∴m＝－12.答案：－124．解析：平面xOy的法向量为n＝(0,0,1)，AB＝(－3,4,0)，AC＝(－3,0，a)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则－3x＋4y＝0，－3x＋az＝0，则3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝a3，a4，1，故cos〈n，u〉＝1a29＋a216＋1＝22.又∵a0，∴a＝125.答案：1255．解析：由l1∥l2，得13＝4x＝3y，解得x＝12，y＝9.答案：1296．解：(1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，3∴BC＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量．(2)由题意AM＝(x－2，y－2，z－2)，∵BC⊥平面α，AM⊂α，∴BC⊥AM.∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.化简得x－y＋z－2＝0.7.解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，1AA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a.(1)∵平面ABCD即为坐标平面xOy，∴n1＝(0,0,1)为其一个法向量．(2)∵B1D⊥平面A1BC1，又∵1BD＝(0，a,0)－(a,0，a)＝(－a，a，－a)，∴n2＝1a1BD＝(－1,1，－1)为平面A1BC1的一个法向量．(3)设n＝(x0，y0，z0)为平面AMD1的一个法向量，∵AM＝a2，a，0，1AD＝(0，a，a)，∴n·AM＝x0，y0，z0a2，a，0＝a2x0＋ay0＝0，n·1AD＝x0，y0，z0，a，a＝ay0＋az0＝0.令x0＝2，则y0＝－1，z0＝1，∴n＝(2，－1,1)为平面AMD1的一个法向量．8．解：(1)在如题图所示的空间直角坐标系A－xyz中，各点坐标为B1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)，由此得1BC＝(0,4，－2)，1CD＝(－3,0,2)；设平面B1CD1的一个法向量为a＝(x，y，z)，则a⊥1BC，a⊥1CD，从而a·1BC＝0，a·1CD＝0，所以0·x＋4·y－2·z＝0，－3·x＋0·y＋2·z＝0，解方程组2y－z＝0，3x－2z＝0，得到y＝z2，x＝2z3.不妨取z＝6，则y＝3，x＝4.4所以a＝(4,3,6)就是平面B1C1D的一个法向量．(2)由题意可得1BM＝(x－3，y，z－2)，因为a＝(4,3,6)是平面B1CD1的一个法向量，所以a⊥1BM，从而a·1BM＝0，即4(x－3)＋3y＋6(z－2)＝0,4x＋3y＋6z＝24，所以满足题意的关系式是4x＋3y＋6z＝24.