2018-2019学年高中数学 课时跟踪训练（二十五）空间的角的计算（含解析）苏教版选修2-1

1课时跟踪训练(二十五)空间的角的计算1．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为________．2．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________．3．PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝2，则二面角A－PB－C的余弦值为________．4．(大纲全国卷改编)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．5．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是________．6.如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成角的正弦值．7．(江西高考)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝32，连结CE并延长交AD于F.(1)求证：AD⊥平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．28.如图，在几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA⊥AB，M是EC的中点，EA＝DA＝AB＝2CB.(1)求证：DM⊥EB；(2)求异面直线AB与CE所成角的余弦值；(3)求二面角M－BD－A的余弦值．答案1．解析：AB＝(2，－2，－1)，CD＝(－2，－3，－3)，∴cos〈AB，CD〉＝AB·CD|AB||CD|＝53×22＝52266.∴直线AB，CD所成角的余弦值为52266.答案：522662．解析：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M1，12，1，C(0,1,0)，N1，1，12.∴AM＝0，12，1，CN＝1，0，12，∴cos〈AM，CN〉＝1252·52＝25，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为25.3答案：253．解析：如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，AP＝(0,0,1)，AB＝(2，1,0)，CB＝(2，0,0)，CP＝(0，－1，1)．设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，则m·AP＝0，m·AB＝0，⇒x，y，z，0，＝0，x，y，z2，1，＝0，⇒y＝－2x，z＝0，令x＝1，则m＝(1，－2，0)．设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则n·CB＝0，n·CP＝0，⇒x′，y′，z2，0，＝0，x′，y′，z，－1，＝0，⇒x′＝0，y′＝z′，令y′＝－1，则n＝(0，－1，－1)，∴cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝33.答案：334.解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则DC＝(0,1,0)，DB＝(1,1,0)，1DC＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DB，n⊥1DC，所以有x＋y＝0，y＋2z＝0，令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC〉|＝n·DC|n||DC|＝23.答案：235.解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E12，1，0，F0，1，12，4D1(0,0,1)．所以1AD＝(－1,0,1)，AE＝－12，1，0.设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·1AD＝0n·AE＝0⇒－x＋z＝0，－x2＋y＝0.取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，∴cos〈n，u〉＝23.答案：236．解：以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(1,0,1)．∴BD＝(0,2,1)，DF＝(1，－2,0)，BA＝(2,0,0)．设平面BDF的一个法向量为n＝(2，a，b)，∵n⊥DF，n⊥BD，∴n·DF＝0，n·BD＝0.即2－2a＝0，2a＋b＝0.解得a＝1，b＝－2.∴n＝(2,1，－2)．又设AB与平面BDF所成的角为θ，则sinθ＝BA·n|BA|·|n|＝42×3＝23.即AB与平面BDF所成角的正弦值为23.7．解：(1)证明：在△ABD中，因为E是BD中点，所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，5故∠BAD＝π2，∠ABE＝∠AEB＝π3，因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝π3，所以∠FED＝∠FEA，故EF⊥AD，AF＝FD.因为PG＝GD，所以FG∥PA.又PA⊥平面ABCD，所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG.(2)以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C32，32，0，D(0，3，0)，P0，0，32，故BC＝12，32，0，CP＝－32，－32，32，CD＝－32，32，0.设平面BCP的一个法向量n1＝(1，y1，z1)，则n1·BC＝12＋32y1＝0，n1·CP＝－32－32y1＋32z1＝0，解得y1＝－33，z1＝23，即n1＝1，－33，23.设平面DCP的一个法向量n2＝(1，y2，z2)，则n2·CD＝－32＋32y2＝0，n2·CP＝－32－32y2＋32z2＝0，解得y2＝3，z2＝2，即n2＝(1，3，2)．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为6cosθ＝|n1·n2||n1||n2|＝43169·8＝24.8．解：以直线AE、AB、AD为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A－xyz，设CB＝a，则A(0,0,0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)，所以M(a，a，a2)，(1)证明：DM＝(a，a，－3a2)，EB＝(－2a,2a,0)，∴DM·EB＝a·(－2a)＋a·2a＋0＝0，∴DM⊥EB，即DM⊥EB.(2)AB＝(0,2a,0)，CE＝(2a，－2a，－a)，设异面直线AB与CE所成的角为θ，则cosθ＝|AB·CE||AB|·|CE|＝4a22a·3a＝23.即异面直线AB与CE所成角的余弦值为23.(3)∵DA⊥平面EAB，AD⊂平面DAB，∴平面DAB⊥平面EAB，∵EA⊂平面EAB，平面EAB∩平面DAB＝AB，EA⊥AB.∴EA⊥平面DAB.∴AE＝(2a,0,0)是平面DAB的一个法向量．设平面MBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，DM＝(a，a，－3a2)，BD＝(0，－2a,2a)，则DM·n＝0，BD·n＝0，即x＋y－3z2＝0，－y＋z＝0.令z＝a，则n＝a2，a，a，设二面角M－BD－A的平面角为α，7则cosα＝AE·n|AE|·|n|＝a22a·3a2＝13.即二面角M－BD－A的余弦值为13.