2018-2019学年高中数学 课时跟踪训练（二十四）空间线面关系的判定（含解析）苏教版选修2-1

1课时跟踪训练(二十四)空间线面关系的判定1．若两平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3,4)，v＝－23，1，－43，则α与β的位置关系是________．2．若平面α、β的法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，则B1C与平面ODC1的关系是________．4．若AB＝λCD＋μCE(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________________________．5．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则(x，y，z)等于________．6．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.7．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用向量法证明：2(1)平面A1BD∥平面CB1D1；(2)AC1⊥平面A1BD.答案1．解析：∵u＝－3v，∴u∥v，∴α∥β.答案：平行2．解析：∵α⊥β，∴－x－2－8＝0.∴x＝－10.答案：－103．解析：∵1BC＝11BC＋1BB＝1BO＋1OC＋1DO＋OD＝1OC＋OD，∴1BC，1OC，OD共面．又∵B1C不在平面ODC1内，∴B1C∥平面ODC1.答案：平行4．解析：∵AB＝λCD＋μCE(λ，μ∈R)，∴AB与CD，CE共面．∴AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE.答案：AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE5．解析：AB·BC＝3＋5－2z＝0，故z＝4.BP·AB＝x－1＋5y＋6＝0，且BP·BC＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝407，y＝－157.答案：407，－157，46．证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E0，12，12.∴PB＝(1,1，－1)，DE＝0，12，12，EB＝1，12，－12，设F(x，y，z)，则PF＝(x，y，z－1)，EF＝x，y－12，z－12.∵EF⊥PB，∴x＋y－12－z－12＝0，即x＋y－z＝0.①又∵PF∥PB，可设PF＝λPB，3∴x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②由①②可知，x＝13，y＝13，z＝23，∴EF＝13，－16，16.(1)设n1＝(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有n1·DE＝0⇒12y1＋12z1＝0，n1·EB＝0⇒x1＋12y1－12z1＝0，∴x1＝z1，y1＝－z1.取z1＝－1，则n1＝(－1,1，－1)．∵PA＝(1,0，－1)，∴PA·n1＝0.又∵PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有n2·EF＝0⇒13x2－16y2＋16z2＝0，n2·DE＝0⇒12y2＋12z2＝0，∴x2＝－z2，y2＝－z2.取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)．∴PB∥n2，∴PB⊥平面EFD.7.证明：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4.∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(23，4,0)，P(0,0,2)，M32，0，32，∴DP＝(0，－1,2)，DA＝(23，3,0)，CM＝32，0，32，(1)法一：令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则DP·n＝0，DA·n＝0，即4－y＋2z＝0，23x＋3y＝0，∴z＝12y，x＝－32y，令y＝2，得n＝(－3，2,1)．∵n·CM＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n⊥CM，又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.法二：∵PD＝(0,1，－2)，PA＝(23，4，－2)，令CM＝xPD＋yPA，则32＝23y，0＝x＋4y，32＝－2x－2y，方程组有解为x＝－1，y＝14，∴CM＝－PD＋14PA，由共面向量定理知CM与PD，PA共面，又∵CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)取AP的中点E，连接BE，则E(3，2,1)，BE＝(－3，2,1)，∵PB＝AB，∴则BE⊥PA.又∵BE·DA＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，∴BE⊥DA，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A.∴BE⊥平面PAD，又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.8．证明：建系如图，设正方体的棱长为1.则A1(1,0,1)、B(1,1,0)、D1(0,0,1)、B1(1,1,1)、C(0,1,0)、A(1,0,0)、C1(0,1,1)．5(1)∴1AD＝(－1,0，－1)，1AB＝(0,1，－1)，11DB＝(1,1,0)，1DC＝(0,1，－1)，设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·1AD＝0，n1·1AB＝0⇒－x1－z1＝0，y1－z1＝0.令z1＝1，得x1＝－1，y1＝1.∴平面A1BD的一个法向量为n1＝(－1,1,1)．设平面CB1D1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则n2·11DB＝0，n2·1DC＝0⇒x2＋y2＝0，y2－z2＝0.令y2＝1，得x2＝－1，z2＝1，∴n2＝(－1,1,1)．∴n1＝n2，即n1∥n2.∴平面A1BD∥平面CB1D1.(2)又1AC＝(－1,1,1)，∴1AC∥n1.∴1AC是平面A1BD的一个法向量，∴1AC⊥平面A1BD.