2018-2019学年高中数学 阶段质量检测（一）推理与证明（含解析）北师大版选修2-2

1阶段质量检测（一）推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ayD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．2．用反证法证明命题“若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c∈Z)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是奇数B．假设a，b，c都不是奇数C．假设a，b，c至多有一个奇数D．假设a，b，c至多有两个奇数解析：选B命题“a，b，c中至少有一个是奇数”的否定是“a，b，c都不是奇数”，故选B.3．求证：2＋35.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋35，只需证明(2＋3)2(5)2，展开得5＋265，即260，此式显然成立，所以不等式2＋35成立．上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：选B证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．4．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了()A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项2解析：选D当n＝k时，不等式左边的最后一项为12k－1，而当n＝k＋1时，最后一项为12k＋1－1＝12k－1＋2k，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是()A．各正三角形内的任一点B．各正三角形的中心C．各正三角形边上的任一点D．各正三角形的某中线的中点解析：选B正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．6．已知函数f(x)＝5x，则f(2018)的末四位数字为()A．3125B．5625C．0625D．8125解析：选B因为f(5)＝55＝3125的末四位数字为3125，f(6)＝56＝15625的末四位数字为5625，f(7)＝57＝78125的末四位数字为8125，f(8)＝58＝390625的末四位数字为0625，f(9)＝59＝1953125的末四位数字为3125，故周期T＝4.又由于2018＝504×4＋2，因此f(2018)的末四位数字与f(6)的末四位数字相同，即f(2018)的末四位数字是5625.7．用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N＋)”时，第一步应验证()A．1＋12≤12＋1B．1≤12＋1C．1＋12＋13＋14≤12＋2D．1＜12＋1解析：选A当n＝1时不等式左边为1＋12，右边为12＋1，即需要验证：1＋12≤12＋1.8．用数学归纳法证明等式：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1解析：选B当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)，3所以，增乘的式子为k＋k＋k＋1＝2(2k＋1)．9．对于函数f(x)，g(x)和区间D，如果存在x0∈D，使|f(x0)－g(x0)|≤1，则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好点”．现给出下列四对函数：①f(x)＝x2，g(x)＝2x－3；②f(x)＝x，g(x)＝x＋2；③f(x)＝e－x，g(x)＝－1x；④f(x)＝lnx，g(x)＝x－12.其中在区间(0，＋∞)上存在“友好点”的是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选C对于①，|f(x)－g(x)|＝|x2－(2x－3)|＝|(x－1)2＋2|≥2，所以函数f(x)与g(x)在区间(0，＋∞)上不存在“友好点”，故①错，应排除A、D；对于②，|f(x)－g(x)|＝|x－(x＋2)|＝x－122＋74≥74，所以函数f(x)与g(x)在区间(0，＋∞)上也不存在“友好点”，故②错，排除B；同理，可知③④均正确．10．已知数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)，可归纳猜想出Sn的表达式为()A．Sn＝2nn＋1B．Sn＝3n－1n＋1C．Sn＝2n＋1n＋2D．Sn＝2nn＋2解析：选A由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，∴a2＝13，S2＝43；又1＋13＋a3＝32a3，∴a3＝16，S3＝32＝64；又1＋13＋16＋a4＝16a4，得a4＝110，S4＝85.由S1＝22，S2＝43，S3＝64，S4＝85可以猜想Sn＝2nn＋1.11．已知f(x)＝x3＋x，若a，b，c∈R，且a＋b0，a＋c0，b＋c0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值()A．一定大于0B．一定等于0C．一定小于0D．正负都有可能4解析：选A∵f′(x)＝3x2＋10，∴f(x)在R上是增函数．又a＋b0，∴a－b，∴f(a)f(－b)．又f(x)＝x3＋x是奇函数，∴f(a)－f(b)，即f(a)＋f(b)0.同理，f(b)＋f(c)0，f(c)＋f(a)0，∴f(a)＋f(b)＋f(c)0，故选A.12．下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的．第n行有n个数且两端的数均为1n(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为()A.1360B.1504C.1840D.11260解析：选C依题意，结合所给的数阵，归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于18，17－18，第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于19，18－19，17－18－18－19，第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于110，19－110，18－19－19－110，17－18－18－19－18－19－19－110＝1840.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n－1(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)＝________.解析：∵f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n－1＋12n＋12n＋1，∴f(n＋1)－f(n)＝12n＋12n＋1.答案：12n＋12n＋114．已知点A(x1，3x1)，B(x2，3x2)是函数y＝3x的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论3x1＋3x223x1＋x22成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，tanx1)，B(x2，tanx2)是函数y＝tanx－π2x0的图5像上任意不同两点，则类似地有____________________成立．解析：因为y＝tanx－π2x0图像是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标tanx1＋tanx22总是小于函数y＝tanx－π2x0图像上的点x1＋x22，tanx1＋x22的纵坐标，即有tanx1＋tanx22tanx1＋x22成立．答案：tanx1＋tanx22tanx1＋x2215．观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5.……照此规律，第n个等式为________．解析：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)16.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a38.答案：a38三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b0，则lga＋b2≥lga＋lgb2；(2)6＋1023＋2.6证明：(1)当a，b0时，有a＋b2≥ab，∴lga＋b2≥lgab，∴lga＋b2≥12lgab＝lga＋lgb2.(2)要证6＋1023＋2，只要证(6＋10)2(23＋2)2，即260248，这是显然成立的，所以原不等式成立．18.(本小题满分12分)如图所示，设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．证明：假设AC⊥平面SOB，因为直线SO在平面SOB内，所以SO⊥AC，因为SO⊥底面圆O，所以SO⊥AB.因为AB∩AC＝A，所以SO⊥平面SAB.所以平面SAB∥底面圆O，这显然与平面SAB与底面圆O相交矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．19．(本小题满分12分)已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于14.证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于14.因为0a1,0b1,0c1，所以1－a0.由基本不等式，得－a＋b2≥－ab14＝12.同理，－b＋c212，－c＋a212.将这三个不等式两边分别相加，得－a＋b2＋－b＋c2＋－c＋a212＋12＋12，7即3232，这是不成立的，故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于14.20．(本小题满分12分)用数学归纳法证明11×3＋13×5＋…＋1n－n＋＝n2n＋1(n∈N＋)．证明：①当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边．所以当n＝1时等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即11×3＋13×5＋…＋1k－k＋＝k2k＋1，则当n＝k＋1时，左边＝11×3＋13×5＋…＋1k－k＋＋1k＋k＋＝k2k＋1＋1k＋k＋＝kk＋＋1k＋k＋＝k＋k＋k＋k＋＝k＋1k＋＋1＝右边．所以当n＝k＋1时等式也成立．根据①和②可知，等式对任何n∈N＋都成立．21．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知2和3都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)0，用反证法证明：关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根．证明：假设方程x2＋2x＋5－m2＝0有实根．由已知实数m满足不等式(2