2018-2019学年高中数学 阶段质量检测（三）（含解析）新人教A版选修4-5

1阶段质量检测(三)(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a，b∈R＋且a＋b＝16，则1a＋1b的最小值是()A.14B.18C.116D.12解析：选A(a＋b)1a＋1b≥a·1a＋b·1b2＝4，∴1a＋1b≥14.当且仅当a·1b＝b×1a，即a＝b＝8时取等号．2．已知x＋3y＋5z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值为()A.65B.635C.3635D．6解析：选C由柯西不等式，得x2＋y2＋z2＝(12＋32＋52)(x2＋y2＋z2)×112＋32＋52≥(x＋3y＋5z)2×135＝62×135＝3635，当且仅当x＝y3＝z5时等号成立．3．已知a，b，c为正数且a＋b＋c＝32，则a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2的最小值为()A．4B．42C．6D．62解析：选C∵a，b，c为正数．∴2a2＋b2＝1＋1a2＋b2≥a＋b.同理2b2＋c2≥b＋c，2c2＋a2≥c＋a，相加得2(a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2)≥2(b＋c＋a)＝62，即a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥6，当且仅当a＝b＝c＝2时取等号．4．设a，b，c均大于0，a2＋b2＋c2＝3，则ab＋bc＋ca的最大值为()A．0B．12C．3D.333解析：选C设a≥b≥c＞0，由排序不等式得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，所以ab＋bc＋ca≤3，故选C.5．已知a，b，c为正数，则(a＋b＋c)1a＋b＋1c的最小值为()A．1B.3C．3D．4解析：选D(a＋b＋c)1a＋b＋1c＝[(a＋b)2＋(c)2]1a＋b2＋1c2≥a＋b·1a＋b＋c·1c2＝22＝4.当且仅当a＋b＝c时取等号．6．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4，则3x＋4y的最大值为()A．21B．11C．18D．28解析：选A根据柯西不等式得[(x－1)2＋(y－2)2][32＋42]≥[3(x－1)＋4(y－2)]2＝(3x＋4y－11)2，∴(3x＋4y－11)2≤100.可得3x＋4y≤21，当且仅当x－13＝y－24＝25时取等号．7．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则a＋b＋2c的最大值是()A.5B.3C．23D.32解析：选B∵1＝a＋b＋4c＝(a)2＋(b)2＋(2c)2＝13[(a)2＋(b)2＋(2c)2]·(12＋12＋12)≥(a＋b＋2c)2·13，∴(a＋b＋2c)2≤3，当且仅当a＝b＝4c时等式成立，故a＋b＋2c的最大值为3.38．函数f(x)＝1－cos2x＋cosx，则f(x)的最大值是()A.3B.2C．1D．2解析：选A因为f(x)＝1－cos2x＋cosx，所以f(x)＝2sin2x＋cosx≤＋2x＋cos2x＝3，当且仅当cosx＝33时取等号．9．若5x1＋6x2－7x3＋4x4＝1，则3x21＋2x22＋5x23＋x24的最小值是()A.78215B.15782C．3D.253解析：选B∵253＋18＋495＋16[3x21＋2x22＋5(－x3)2＋x24]≥(5x1＋6x2－7x3＋4x4)2＝1，即3x21＋2x22＋5x23＋x24≥15782.10．已知a，b，c∈R＋，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是()A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零解析：选B设a≥b≥c0，所以a3≥b3≥c3，根据排序不等式，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.又ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中横线上)11．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则2a＋2b＋2c的最小值为________．解析：∵(a＋b＋c)2a＋2b＋2c＝[(a)2＋(b)2＋4(c)2]2a2＋2b2＋2c2≥a·2a＋b·2b＋c·2c2＝18，∴2a＋2b＋2c≥2，当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立．∴2a＋2b＋2c的最小值为2.答案：212．已知A，B，C是三角形三个内角的弧度数，则1A＋1B＋1C的最小值是________．解析：(A＋B＋C)1A＋1B＋1C≥(1＋1＋1)2＝9，而A＋B＋C＝π，故1A＋1B＋1C≥9π，当且仅当A＝B＝C＝π3时，等号成立．答案：9π13．设有两组实数：a1，a2，a3，…，an与b1，b2，b3，…，bn，且它们满足：a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，若c1，c2，c3，…，cn是b1，b2，b3，…，bn的任意一个排列，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1c1＋a2c2＋…＋ancn≥a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，反序和与顺序和相等的条件是________．解析：反序和与顺序和相等，则两组数至少有一组相等．答案：a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn14．设a，b，c为正数，且a＋2b＋3c＝13，求3a＋2b＋c的最大值为________．解析：∵(a＋2b＋3c)32＋12＋132≥a·3＋2b·1＋3c·132＝(3a＋2b＋c)2，∴(3a＋2b＋c)2≤1323.∴3a＋2b＋c≤1333.当且仅当a3＝2b1＝3c13时取等号．又a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝32，c＝13时，53a＋2b＋c有最大值1333.答案：1333三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求实数a的取值范围．解：由柯西不等式，得：(2b2＋3c2＋6d2)12＋13＋16≥(b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6b2≥(b＋c＋d)2.由条件可得5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2.所以实数a的取值范围为[1,2]．16．(本小题满分12分)求函数y＝1－sinx＋4sinx－1的最大值．解：由1－sinx≥0,4sinx－1≥0，得14≤sinx≤1，则y2＝1－sinx＋2sinx－142≤(1＋4)1－sinx＋sinx－14＝154，即y≤152，当且仅当4(1－sinx)＝sinx－14，即sinx＝1720时等号成立，所以函数y＝1－sinx＋4sinx－1的最大值为152.17．(本小题满分12分)设a1，a2，…，an是1,2，…，n的一个排列，求证：12＋23＋…＋n－1n≤a1a2＋a2a3＋…＋an－1an.证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1b2…bn－1；c1，c2，…，cn－1是a2，a3，…，an的一个排列，且c1c2…cn－1，则1c11c2…1cn－1且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n.利用排序不等式，有a1a2＋a2a3＋…＋an－1an≥b1c1＋b2c2＋…＋bn－1cn－1≥12＋23＋…＋n－1n.6∴原不等式成立．18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝|x－2|－3.(1)若f(x)0，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，求g(x)＝3x＋4＋4|x－6|的最大值．解：(1)因为f(x)0⇔|x－2|3⇔－3x－23⇔－1x5，所以x的取值范围是(－1,5)．(2)由(1)知g(x)＝3x＋4＋46－x.由柯西不等式得(32＋42)[(x＋4)2＋(6－x)2]≥(3x＋4＋46－x)2，所以g(x)≤250＝510，当且仅当x＋43＝6－x4，即x＝－25时，g(x)取得最大值510.7