2018-2019学年高中数学 阶段质量检测（四）定积分（含解析）北师大版选修2-2

1阶段质量检测（四）定积分(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知abf(x)dx＝m，则abnf(x)dx＝()A．m＋nB．m－nC．mnD．mn解析：选C根据定积分的性质，abnf(x)dx＝nabf(x)dx＝mn.2.01(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．eD．e＋1解析：选C01(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)10＝(e1＋1)－e0＝e，故选C.3．若0k(2x－3x2)dx＝0，则k等于()A．0B．1C．0或1D．不确定解析：选B0k(2x－3x2)dx＝(x2－x3)k0＝k2－k3＝0，∴k＝0(舍去)或k＝1，故选B.4.如图所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是()A.02(x2－1)dxB.01(x2－1)dxC.02|x2－1|dxD.01(x2－1)dx＋12(x2－1)dx解析：选C由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝02|x2－1|dx，故选C.5．若f(x)＝x2＋201f(x)dx，则01f(x)dx＝()2A．－1B．－13C.13D．1解析：选B∵f(x)＝x2＋201f(x)dx，∴01f(x)dx＝13x3＋2x01fxx10＝13＋201f(x)dx.∴01f(x)dx＝－13.6．已知f(x)为偶函数且06f(x)dx＝8，则-66f(x)dx＝()A．0B．4C．8D．16解析：选D∵f(x)为偶函数，∴其图像关于y轴对称，∴-66f(x)dx＝206f(x)dx＝16.7.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为()A.12B.13C.14D.15解析：选B根据题意得S阴影＝013x2dx＝x310＝1，则点M取自阴影部分的概率为S阴影S长方形＝13×1＝13.8．若0π2(sinx＋acosx)dx＝2，则实数a等于()A．－1B．1C．－3D.3解析：选B∵0π2(sinx＋acosx)dx＝2，∴0π2(sinx＋acosx)dx＝0π2sinxdx＋a0π2cosxdx＝(－cosx)π20＋(asin3x)π20＝0－(－1)＋a＝2，∴a＝1.9．由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积是()A.53B.323C.643D．9解析：选B解y＝－x2，y＝2x－3，得交点A(－3，－9)，B(1，－1)．则y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积S＝－31(－x2)dx－－31(2x－3)dx＝－13x31－3－(x2－3x)1－3＝323.10．由曲线y＝x，x＝4和x轴所围成的平面图形绕x轴旋转生成的旋转体的体积为()A．16πB．32πC．8πD．4π解析：选C由图知旋转体的体积为π04(x)2dx＝π2x240＝8π.11．已知自由落体运动的速率v＝gt，则落体运动从t＝0到t＝t0所走的路程为()A．gt20B.gt203C.gt202D.gt206解析：选Cs＝0t0v(t)dt＝12gt2t000＝12gt20.12.如图，两曲线y＝3－x2与y＝x2－2x－1所围成的图形面积是()A．6B．9C．12D．34解析：选B由y＝3－x2，y＝x2－2x－1，解得交点(－1,2)，(2，－1)，所以S＝－12[(3－x2)－(x2－2x－1)]dx＝－12(－2x2＋2x＋4)dx＝－23x3＋x2＋4x2－1＝9.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13.0π3cosxdx＝________.解析：0π3cosxdx＝sinxπ30＝32.答案：3214．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若01f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．解析：01f(x)dx＝01(ax2＋c)dx＝13ax3＋cx10＝a3＋c＝ax20＋c，则x0＝33.答案：3315．有一横截面面积为4cm2的水管控制往外流水，打开水管后ts末的流速为v(t)＝6t－t2(单位：cm/s)(0≤t≤6)．则t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为________cm3.解析：由题意可得t＝0到t＝6这段时间内流出的水量V＝064(6t－t2)dt＝406(6t－t2)dt＝43t2－13t360＝144(cm3)．答案：14416．已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)，B12，5，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为________．5解析：由题意可得f(x)＝10x，0≤x≤12，10－10x，12x≤1，所以y＝xf(x)＝10x2，0≤x≤12，10x－10x2，12x≤1.与x轴围成的图形的面积为01210x2dx＋121(10x－10x2)dx＝103x3120＋5x2－103x3112＝54.答案：54三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知f(x)＝－ax(12t＋4a)dt，F(a)＝01[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．解：∵f(x)＝－ax(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)x-a＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，∵F(a)＝01[f(x)＋3a2]dx＝01(6x2＋4ax＋a2)dx＝(2x3＋2ax2＋a2x)10＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1，∴当a＝－1时，F(a)最小值＝1.18．(本小题满分12分)求由曲线y＝x2＋2与直线y＝3x，x＝0，x＝2所围成的平面图形的面积．解：S＝01(x2＋2－3x)dx＋12(3x－x2－2)dx＝13x3－32x2＋2x10＋－13x3＋32x2－2x216＝13－32＋2＋－13×8＋32×4－4－－13＋32－2＝56－23＋56＝53－23＝1.19．(本小题满分12分)如图，求由曲线y＝－x2,4y＝－x2及直线y＝－1所围图形的面积．解：由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍．法一：由y＝－x2，y＝－1，得C(1，－1)．同理得D(2，－1)．则所求图形的面积S＝201－x24－－x2dx＋12－x24－－dx＝2013x24dx－12x24dx＋12dx)＝2x3410－x31221＋x21＝43.法二：同法一得C(1，－1)，D(2，－1)．则所求图形的面积为S＝2－10(2－y－－y)dy＝2－10－ydy＝2×－23×(－y)320－1＝43.20．(本小题满分12分)如图所示，抛物线y＝12x2将圆面x2＋y2≤8分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在图中阴影部分的概率为14＋16π，求028－x2－12x2dx的值．解：解方程组x2＋y2＝8，y＝12x2，得x＝±2.∴阴影部分的面积为－228－x2－12x2dx.∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是78π·14＋16π＝2π＋43.由定积分的几何意义得028－x2－12x2dx＝12－228－x2－12x2dx＝π＋23.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－1，直线l1：x＝1，l2：y＝et－1(t为常数，且0≤t≤1)，直线l1，l2与函数f(x)的图像围成的封闭图形，以及直线l2，y轴与函数f(x)的图像围成的封闭图形如图中阴影部分所示．求当t变化时，阴影部分的面积的最小值．解：依题意知，阴影部分的面积S＝0t(et－1－ex＋1)dx＋t1(ex－1－et＋1)dx＝0t(et－ex)dx＋t1(ex－et)dx＝(xet－ex)t0＋(ex－xet)1t＝(2t－3)et＋e＋1，令g(t)＝(2t－3)et＋e＋1(0≤t≤1)，则g′(t)＝(2t－1)et，取g′(t)＝0，解得t＝12.当t∈0，12时，g′(t)0，g(t)是减函数；当t∈12，1时，g′(t)0，g(t)是增函数．因此g(t)的最小值为g12＝e＋1－2e12＝(e－1)2，故阴影部分的面积的最小值为(e－1)2.22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝13x3＋12ax2＋bx，f′(x)是函数f(x)的导数．在区间[－1,1]内任取实数a，b，求方程f′(x)＝0有实数根的概率．解：f′(x)＝x2＋ax＋b.若方程f′(x)＝0，即x2＋ax＋b＝0有实数根，则Δ≥0，即a2≥4b，8因此方程f′(x)＝0有实数根的条件是－1≤a≤1，－1≤b≤1，a2≥4b，满足此不等式组的点P(a，b)形成的图形为图中阴影部分，其面积为S1＝－11a24－－1da＝－11a24＋1da＝a3121－1＋2＝136.而坐标满足条件－1≤a≤1，－1≤b≤1的点形成的图形的面积S＝4，根据几何概型的概率公式可知，方程f′(x)＝0有实数根的概率为P＝S1S＝1324.9