2018-2019学年高中数学 阶段质量检测（四）模块综合检测（含解析）苏教版选修2-1

1阶段质量检测(四)模块综合检测[考试时间：120分钟试卷总分：160分]题号一二总分151617181920得分一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把正确答案填在题中的横线上)1．(安徽高考)命题“存在实数x，使x1”的否定是________________________．2．“相似三角形的对应角相等”的否命题是________________________________．3．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于________．4．若a＝(1，－1，－1)，b＝(0,1,1)，且(a＋λb)⊥b，则实数λ的值是________．5．(重庆高考)设P为直线y＝b3ax与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝________.6．已知a＝(t＋1,1，t)，b＝(t－1，t,1)，则|a－b|的最小值为________．7．方程x23＋m－y21－m＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是________．8．(北京高考改编)双曲线x2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是________．9．(山东高考改编)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的________条件．10．命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是____________________．11．已知A(4,1,3)、B(2,3,1)、C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x的值为________．12．(山东高考改编)抛物线C1：y＝12px2(p＞0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝________.13．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP―→＝2PA―→，且OQ―→·AB―→＝1，则P点的轨迹方程是________．214．若方程x24－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，给出下列四个命题：①若C为椭圆，则1＜t＜4且t≠52；②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；③曲线C不可能是圆；④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜32.其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上)．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)过直角坐标平面xOy中的抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A，B两点．(1)用p表示线段AB的长；(2)若OA·OB＝－3，求这个抛物线的方程．16．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x－1，x∈R.设p：x∈π4，π2，q：|f(x)－m|＜3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．317.(本小题满分14分)如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?18．(本小题满分16分)已知点1，32是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点，离心率为12.(1)求椭圆E的方程；(2)设不过原点O的直线l与该椭圆E交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．419．(新课标全国卷Ⅱ)(本小题满分16分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝22AB.(1)证明：BC1//平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．20．(重庆高考)(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．答案1．对任意实数x，都有x≤12．解析：否命题是条件结论都否定．答案：不相似的三角形的对应角不相等3．解析：抛物线y2＝2px(p0)的准线为x＝－p2，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p＝4，焦点F到抛物线准线的距离等于4.答案：44．解析：λb＝(0，λ，λ)，a＋λb＝(1，λ－1，λ－1)．5∵(a＋λb)⊥b，∴(a＋λb)·b＝0.∴λ－1＝0，λ＝1.答案：15．解析：由PF1⊥x轴且P点在双曲线的左支上，可得P－c，－b2a.又因为点P在直线y＝b3ax上，所以－b2a＝b3a×(－c)，整理得c＝3b，根据c2＝a2＋b2得a＝22b，所以双曲线的离心率e＝ca＝3b22b＝324.答案：3246．解析：|a－b|2＝22＋(1－t)2＋(t－1)2＝2(t－1)2＋4，所以当t＝1时，|a－b|取得最小值2.答案：27．解析：若x23＋m－y21－m＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则3＋m0，1－m0⇒－3m1，∴m的取值范围是(－3,1)．答案：(－3,1)8．解析：依题意，e＝ca，e2＝c2a22，得1＋m2，所以m1.答案：m19．解析：由q⇒綈p且綈p⇒/q可得p⇒綈q且綈q⇒/p，所以p是綈q的充分不必要条件．答案：充分不必要10．解析：∵“∃x∈R,2x2－3ax＋9＜0”为假命题，∴∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8，∴－22≤a≤22.答案：[－22，22]11．解析：因为A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，P(x，－1,3)，所以AP＝(x－4，－2,0)，AB＝(－2,2，－2)，6AC＝(－1，6，－8)．由于点P在平面ABC内，所以P、A、B、C四点共面．所以AP、AB、AC三个向量共面．故由共面向量定理，知存在有序实数对(m，n)，使AP＝mAB＋nAC，即(x－4，－2,0)＝m(－2,2，－2)＋n(－1,6，－8)，所以x－4＝－2m－n，－2＝2m＋6n，0＝－2m－8n.解得m＝－4，n＝1，x＝11.答案：1112．解析：由已知得抛物线的焦点坐标为0，p2，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为x2＋2yp＝1.双曲线的渐近线方程为y＝±33x.对函数y＝12px2求导得，y′＝1px.设M(x0，y0)，则1px0＝33，即x0＝33p，代入抛物线方程得，y0＝16p.由于点M在直线x2＋2yp＝1上，所以36p＋2p×p6＝1，解得p＝43＝433.答案：43313．解析：可得A(32x,0)，B(0,3y)，Q(－x，y)，则AB＝(－32x,3y)，OQ＝(－x，y)，故OQ·AB＝32x2＋3y2＝1，所以P点的轨迹方程为32x2＋3y2＝1(x0，y0)．答案：32x2＋3y2＝1(x0，y0)14．解析：若为椭圆，则4－t＞0，t－1＞0，4－t≠t－1，即1＜t＜4，且t≠52；若为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，即4＜t或t＜1；当t＝52时，表示圆，若C表示长轴在x轴上的椭圆，则1＜t＜52，故①②正确．7答案：①②15．解：(1)抛物线的焦点为Fp2，0，过点F且倾斜角为π4的直线方程是y＝x－p2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y2＝2px，y＝x－p2得x2－3px＋p24＝0，∴x1＋x2＝3p，x1x2＝p24，∴AB＝x1＋x2＋p＝4p.(2)由(1)知x1x2＝p24，x1＋x2＝3p，∴y1y2＝x1－p2x2－p2＝x1x2－p2(x1＋x2)＋p24＝p24－3p22＋p24＝－p2，∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝p24－p2＝－3p24＝－3，解得p2＝4，∴p＝2.∴这个抛物线的方程为y2＝4x.16．解：∵f(x)＝2sin2π4＋x－3cos2x－1＝1－cosπ2＋2x－3cos2x－1＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3，∴若p成立，即x∈π4，π2时，2x－π3∈π6，2π3，由|f(x)－m|＜3⇒m－3＜f(x)＜m＋3.∵p是q的充分条件，∴m－3＜1，m＋3＞2，解得－1＜m＜4，即m的取值范围是(－1,4)．17．解：如图，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则O12，12，0，P0，0，12，A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，设Q(0,1，z)，则OP＝－12，－12，12，81BD＝(－1，－1,1)，∴OP∥1BD，∴OP∥BD1，AP＝－1，0，12，BQ＝(－1,0，z)，当z＝12时，AP＝BQ，即AP∥BQ，有平面AOP∥平面D1BQ，∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.18．解：(1)由题意知，ca＝12，所以a2－b2a2＝14，a2＝43b2.又1a2＋94b2＝1，解得a2＝4，b2＝3.因此椭圆E的方程为x24＋y23＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由y＝kx＋m，x24＋y23＝1消去y得，(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0.由题意知Δ＝64k2m2－16(3＋4k2)(m2－3)＝16(12k2－3m2＋9)0，即4k2－m2＋30.又x1＋x2＝－8km3＋4k2，x1x2＝m2－3＋4k2所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝3m2－12k23＋4k2.因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以y1x1·y2x2＝3m2－12k2m2－＝k2，即(4k2－3)m2＝0，∵m≠0，∴k2＝34.由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ0，得0m26，且m2≠3.设d为点O到直线l的距离，9则S△OPQ＝12d|PQ|＝12×|m|1＋k21＋k2|x1－x2|＝12|m|x1＋x22－4x1x2又因为m2≠3，所以S△OPQ＝33m2－m233×m2＋6－m22＝3.所以△OPQ面积的取值范围为(0，3)．19.解：(1)证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连结DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)由AC＝CB＝22AB得，AC⊥BC.以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD＝(1,1,0)，CE＝(0,2,1)，1CA＝(2,0,2)．设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则n·CD＝0，n·1CA＝0，即x1＋y1＝0，2x1＋2z1＝0.可取n＝(1，－1，－1)．同理，设m＝(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，则m·CE＝0，m·1CA＝0，即2y2＋z2＝02x2＋2z2＝0可取m＝(2,1，－2)．从而cos〈n，m〉＝n·m|n||m|＝33，故sin〈n，m〉＝63.即二面角D－A1C－E的正弦值为63.20．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1