2019全国2卷文科数学试题及答案精析

2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合={|1}Axx，{|2}Bxx，则A∩B=A．(-1，+∞)B．(-∞，2)C．(-1，2)D．2．设z=i(2+i)，则z=A．1+2iB．-1+2iC．1-2iD．-1-2i3．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=A．2B．2C．52D．504．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A．23B．35C．25D．155．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e1x，则当x0时，f(x)=A．e1xB．e1xC．e1xD．e1x7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面8．若x1=4，x2=4是函数f(x)=sinx(0)两个相邻的极值点，则=A．2B．32C．1D．129．若抛物线y2=2px（p0）的焦点是椭圆2213xypp的一个焦点，则p=A．2B．3C．4D．810．曲线y=2sinx+cosx在点(π，-1)处的切线方程为A．10xyB．2210xyC．2210xyD．10xy11．已知a∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．15B．55C．33D．25512．设F为双曲线C：22221xyab（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A．2B．3C．2D．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若变量x，y满足约束条件23603020xyxyy，，，则z=3x–y的最大值是___________.14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.15．ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥11EBBCC的体积．18．（12分）已知{}na是各项均为正数的等比数列，1322,216aaa.（1）求{}na的通项公式；（2）设2lognnba，求数列{}nb的前n项和．19．（12分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．y的分组[0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）附：748.602.20．（12分）已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．（1）若2POF△为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得12PFPF，且12FPF△的面积等于16，求b的值和a的取值范围．21．（12分）已知函数()(1)ln1fxxxx．证明：（1）()fx存在唯一的极值点；（2）()=0fx有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，O为极点，点000(,)(0)M在曲线:4sinC上，直线l过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为P.（1）当0=3时，求0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()|||2|().fxxaxxxa（1）当1a时，求不等式()0fx的解集；（2）若(,1)x时，()0fx，求a的取值范围.2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学·参考答案1．C2．D3．A4．B5．A6．D7．B8．A9．D10．C11．B12．A13．914．0.9815．3π416．26；2117．解：（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故11BCBE．又1BEEC，所以BE⊥平面11EBC．（2）由（1）知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以1145AEBAEB，故AE=AB=3，126AAAE.作1EFBB，垂足为F，则EF⊥平面11BBCC，且3EFAB．所以，四棱锥11EBBCC的体积1363183V．18．解：（1）设na的公比为q，由题设得22416qq，即2280qq．解得2q（舍去）或q=4．因此na的通项公式为121242nnna．（2）由（1）得2(21)log221nbnn，因此数列nb的前n项和为21321nn．19．解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100．产值负增长的企业频率为20.02100．用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%．（2）1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y，52211100iiisnyy222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100=0.0296，0.02960.02740.17s，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．20．解：（1）连结1PF，由2POF△为等边三角形可知在12FPF△中，1290FPF，2PFc，13PFc，于是122(31)aPFPFc，故C的离心率是31cea.（2）由题意可知，满足条件的点(,)Pxy存在．当且仅当1||2162yc，1yyxcxc，22221xyab，即||16cy，①222xyc，②22221xyab，③由②③及222abc得422byc，又由①知22216yc，故4b．由②③得22222axcbc，所以22cb，从而2222232,abcb故42a.当4b，42a时，存在满足条件的点P．所以4b，a的取值范围为[42,)．21．解：（1）()fx的定义域为（0，+）.11()ln1lnxfxxxxx.因为lnyx单调递增，1yx单调递减，所以()fx单调递增，又(1)10f，1ln41(2)ln2022f，故存在唯一0(1,2)x，使得00fx.又当0xx时，()0fx，()fx单调递减；当0xx时，()0fx，()fx单调递增.因此，()fx存在唯一的极值点.（2）由（1）知0(1)2fxf，又22ee30f，所以()0fx在0,x内存在唯一根x.由01x得011x.又1111()1ln10ff，故1是()0fx在00,x的唯一根.综上，()0fx有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．22．解：（1）因为00,M在C上，当03时，04sin233.由已知得||||cos23OPOA.设(,)Q为l上除P的任意一点.在RtOPQ△中，cos||23OP，经检验，点(2,)3P在曲线cos23上．所以，l的极坐标方程为cos23．（2）设(,)P，在RtOAP△中，||||cos4cos,OPOA即4cos．因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,42.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,,42.23．解：（1）当a=1时，()=|1|+|2|(1)fxxxxx.当1x时，2()2(1)0fxx；当1x时，()0fx.所以，不等式()0fx的解集为(,1).（2）因为()=0fa，所以1a.当1a，(,1)x时，()=()+(2)()=2()(1)0fxaxxxxaaxx.所以，a的取值范围是[1,)．