幂的运算讲义

欢迎阅读特尔教育一对一个性化辅导讲义学科：数学任课教师：雷梦华授课时间：2014年11月23日(星期)姓名年级性别总课时____第___课教学目标掌握幂的运算法则，并能熟练运用法则进行计算；难点重点熟练运用幂的运算法则进行计算；教学过程教材精华：一、同底数幂的乘法法则：nmnmaaa·（m、n为正整数）。同底数幂相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式，若底数是多项式，可以用字母表示为：nmnmbababa)()(·）（；同底数幂的乘法法则还可以逆用：nmnmaaa·（m、n为正整数）；同底数幂相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式，再幂的运算中常用到下面两种变形：①na)(=为正奇数）；（为正偶数），（nbnnna②nba)(为正奇数）；（为正偶数），（n)(n)(nnabab巩固训练：（1）计算：①aaa··32；②52·aa；③34)(·aa。思路引导：将式子中不同的底数转化成相同的底数，然后再用同底数幂乘法的法则进行计算：解：①613232··aaaaa。②75252·aaaa。③7343434·)(·aaaaaa。方法总结：同底数幂相乘，先确定符号，负因数出现奇数个就取负号，出现偶数个就取正号，然后按照同底数幂的乘法法则进行计算。（2）计算：①32)(·)(baba；②)2(·)2(·)2(53xxx；③23)(·)(abba；④53)(·)(xyyx；思路引导：将a+b，x+2看成是一个整体，然后运用同底数幂的乘法法则进行计算；若底数为互为相反数的幂相乘时，可以利用幂确定符号的方法先转化为同底数幂欢迎阅读再按法则计算。解：①53232)()()(·)(babababa。②915353)2()2()2(·)2(·)2(xxxxx。③5232323)()()(·)()(·)(babababaabba。④8535353)()(])([·)()(·)(yxyxyxyxxyyx。方法总结：若底数为互为相反数的幂相乘时，在统一底数时，尽可能地改变偶次幂的底数，这样可以减少符号的变化。（3）已知14··xxxxnm，且m比n大3，求mn的值。思路引导：运用同底数幂的运算法则计算，然后由指数相等列出关于m，n的一个方程，与“m比n大3”列出的方程组成方程组可解得m，n的值，进而可求mn的值。解：∵14··xxxxnm，∴141xxnm，∴1+m+n=14.①又∵m比n大3，∴m-n=3.②①②组成方程组为3141nmnm，解得58nm，∴mn=8×5=40.方法总结：解此类问题，首先要根据同底数幂的乘法法则构造方程或方程组，再通过解方程或方程组求出指数中的字母，通过转化和方程组呃综合运用来解决问题。（4）计算：①23101001010；②33·mmxxx；思路引导：先算同底数幂相乘，再合并同类项。解：①23101001010=441010=2×410；②33·mmxxx=0·3333mmmmxxxxx；（5）同底数幂的乘法在科学计数法中的应用：①光的速度大约是5100.3千米/秒，如果一束光线从地球上向火星发射，大约需要20分钟才能到达火星，求火星距离地球大约多少千米？②09年全年生产总值比2008年增长10.7%，达到19367亿元，19367亿用科学计数法表示为：思路引导：①根据“路程=速度×时间”可以求出火星与地球的大约距离。②科学计数法的一般形式是a×10n（1≤a10）；解：①3.0×105×20×60=3.6×108（千米）；答：火星距离地球大约3.6×108千米；②科学计数法的一般形式是a×10n（1≤a10），对于大于1的数，其指数n等于改数的整数位数减1，所以19367亿元转换为科学计数法1.9367×1012元。欢迎阅读二、幂的乘方法则：mnnmaa)(（m、n为正整数），即，幂的乘方，底数不变，指数相乘；幂的乘方法则的推广：即mnppnmaa])[(（m、n、p为正整数）；幂的乘方法则还可以逆用：mnnmmnaaa)()(（m、n为正整数）；巩固训练：（1）计算：①5210）（；②42）（a；③34)(a；④32])[(x；⑤62])[(yx；思路引导：运用幂的乘方法则进行运算时，一定要注意底数不变，指数相乘。解：①5210）（=10521010；②42）（a=842aa；③34)(a=34a=12a④32])[(x=6632)()(xxx；⑤62])[(yx=1262)()(yxyx；点拨：注意分清底数，特别是有负号的时候。（2）计算：①243])2()2[(baba；②243])2()2[(baab；思路引导：把底数a-2b看成一个整体，然后进行计算；解：①243])2()2[(baba=243])2[(ba=14)2(ba；②243])2()2[(baab=243])2()2[(abab=27])b2[(a=27)2(ab=14)2(ab；（3）若naam（a0且a≠1，m，n是正整数），则m=n。利用这个结论解决以下两个问题：①如果2221682xx，求x的值；如果623)27(x，求x的值；思路引导：首先分析题意，分析结论的使用条件，即只要有naam（a0且a≠1，m，n是正整数），则可知m=n，即指数相等，然后在解题中应用即可。解：①∵22431221682xxxx，∴1+3x+4x=22，解得x=3，即x的值为3；②∵xxxx6232323)3(])3[()27(，∴6x=6，解得x=1，即x的值为1；方法总结：综合运用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则将问题转化为方程，运用方程确定字母的值是解决这类问题的常用方法。（4）已知a=338，b=2516，c=1932，则有（）A.abcB.cbaC.cabD.acb思路引导：本题所给的幂比较复杂，直接计算比较困难，经过观察可发现其底数都可以化成n2的形式，故逆用幂的乘方性质把底数都化成2，再比较它们的指数的大小即可。因为a=338=333)2(=992，b=100254252)2(16，c=95195192)2(32，由乘方的意义，可知9599100222，即bac，故应选C。欢迎阅读答案：C。三、积的乘方法则：nnnbaab)(（n为正整数），即把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。积的乘方的逆用：nnnabba)(（n为正整数）；巩固训练：（1）计算：①22)3(xy；②3)2(x；③5)(ab；④32)102(；⑤43)3(yx。思路引导：利用积的乘方法则计算，计算顺序为：先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数幂的乘法，有同类项的要先合并同类项。解：①22)3(xy=4222229)(··)3(yxyx；②3)2(x=3338·2xx；③5)(ab=55555··)1(baba；④32)102(=6323108)10()2(；⑤43)3(yx=4434·)(·)3(yx=41281yx；易错警示：运用积的乘方时，每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式；系数连同他的符号一起乘方，系数是-1时不可忽略。（2）用简便方法计算：①446)4()75()25.0()521(；②20132012)8(125.0；思路引导：①观察该式的特点可知本题需利用乘法的结合律和逆用积的乘方公式求解；②88820122013，故知该式需逆用同底数幂的乘法和积的乘方公式求解。解：①446)4()75()25.0()521(=])4()25.0[(])75()521[(4466=46)425.0()7557(=1×1=1；②20132012)8(125.0=20132012)8(125.0=88125.02012）（=812012=-8；（3）①已知1010a，100010b，求ba3210的值。解：ba3210=32)10(·)10(ba=1133232101010100010）（；②已知byaxnn，，试用a，b表示nxy2)(的值。思路引导：nxy2)(=nnyx22，已知条件是nnyx与的值，所以2222)()(nnnnyxyx；解：nxy2)(=2222)()(nnnnyxyx=22ba；在积的乘方运算比较复杂时，可以利用积的乘方法则展开，并把其转化为由已知幂表示的式子，然后采用整体带入的方法求其值。四、同底数幂的除法法则：nmnmaaa（a≠0，m，n为正整数，并且mn）；同底数幂的除法法则逆用：nmnmaaa（a≠0，m，n为正整数，并且mn）；巩固训练：欢迎阅读（1）判断下列各式是否正确，错误的请改正：①428xxx；②235)(yyy；③639)()()(yxyxxy；④321yyymm。解：①不正确，应改为：628xxx，法则中底数不变，指数相减，而不是指数相除；②不正确，应改为：235)(yyy，5y与3)(y底数不同，要先化为同底数，即33)(yy，再计算；③不正确，应改为639)()()(yxyxxy，x-y与y-x互为相反数，先化同底数再计算；④不正确，应改为yyymm21，指数相减应为（m-1）-（m-2）=1；方法总结：底数不同时不能直接与运用同底数幂的除法法则计算，一定要先化成相同底数的幂再运算。计算：①38xx；②26)()(xyxy；③35)52()52(yxyx；④46)()(yxxy；⑤4410xxx；⑥327)()(xxx；⑦238)()()(mnmnnm；思路引导：按照从左到右的顺序进行计算，底数不相同要先化为同底数幂再计算；解①38xx=538xx；②26)()(xyxy=26)(xy4)(xy44yx；③原式=35)52(yx=2)52(yx；④原式=46)()(yxyx=2)(yx；⑤原式=4410x=2x；⑥原式=)(327xxx=327xxx=327x=2x；⑦原式=238)()()(mnmnmn=238)(mn=3)(mn；方法总结：多个同底数幂相除要按照从左到右的顺序进行计算。（2）①解方程：1671)43(1x；②解不等式：)12()3(15x)1()3(16x；解：①原方程可化为169)43(1x，即21)43()43(x；∴x-1=2，解得x=3；②∵)12()3(15x)1()3(16x，∴2x-1)1]()3()3[(1516x，∴2x-1-3(1-x)，∴2x-13+3x，∴-x-2，∴x2。方法总结：在含有幂的运算的等式（不等式）中，确定指数中的字母取值（范围）的方法：通过符号（等号）两边各自计算，使左右两边底数相同，然后由指数相等（不等）构造方程（不等式）来求解字母的取值范围。（3）如果mn3能被13整除，试说明：mn33也能被13整除。欢迎阅读思路引导：方法一：可以逆用同底数幂的乘法运算将mn33变形成)3(326mnn，根据已知条件mn3能被13整除，可以说明mn33也能被13整除；方法二：如果mn3能被13整除，且mn33与mn3的差也能被13整除，那么mn33也能被13整除。解：方法一：mn33=)3(3263·273·33mmmnnnn，∵n326和mn3都能被13整除，∴)3(326mnn能被13整除，即mn33也能被13整除。方法二：