抛物线的定义与标准方程-PPT课件

2．3抛物线2．3.1抛物线的定义与标准方程2.3.1课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．2．会求简单的抛物线的方程．课前自主学案温故夯基抛物线．1．二次函数的图象是__________2．y＝x2＋2的最小值是___.3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是________2x＝－b2a.知新益能1．抛物线的定义平面上到一个定点F和定直线l距离______的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的_________相等准线．思考感悟1．如何理解抛物线的定义？提示：(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F即抛物线的焦点；一条定直线l即抛物线的准线；一个定值即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．如到点F(1,0)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0，轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线．2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p0)(p2，0)x＝－p2图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝－2px(p0)(－p2，0)x＝p2x2＝2py(p0)(0，p2)y＝－p2x2＝－2py(p0)(0，－p2)y＝p2思考感悟2．如何确定抛物线的焦点位置和开口方向？提示：一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上，焦点确定，开口方向也随之确定．四种位置的抛物线标准方程的对比：大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静(1)共同点：①原点在抛物线上；②焦点在坐标轴上；③焦点的非零坐标都是一次项系数的.(2)不同点：①焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2；②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，焦点在x轴(或y轴)正半轴上，方程右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)负半轴上，方程右端取负号．课堂互动讲练考点一确定抛物线的焦点、开口方向、准线方程考点突破根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，一定要先化为标准形式，找出2p，进而求出p和p2的值，然后借助抛物线的开口方向即可求出焦点坐标和准线方程．例1求抛物线y＝2ax2(a≠0)的顶点坐标、焦点坐标、准线方程，指出其开口方向并确定p值．【思路点拨】将方程化为标准形式―→写出焦点坐标及准线方程―→判断开口方向―→确定p值【解】将y＝2ax2化为标准方程得x2＝12ay.∴焦点为(0，18a)，准线方程为y＝－18a，顶点坐标为(0,0)，当a0时，开口向上，p＝14a；当a0时，开口向下，p＝－14a.【名师点评】一般地，不论a符号如何，形如y2＝ax(a≠0)的抛物线，焦点均为F(a4，0)，准线方程均为x＝－a4；形如x2＝ay(a≠0)的抛物线，焦点为F(0，a4)，准线方程为y＝－a4，而p(指焦点到准线的距离)总是正数．自我挑战1已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程．(1)y2＝6x；(2)2y2＋5x＝0.解：(1)∵2p＝6，∴p＝3，开口向右，则焦点坐标是(32，0)，准线方程为x＝－32.(2)将2y2＋5x＝0变形为y2＝－52x，∴2p＝52，p＝54，开口向左．∴焦点为(－58，0)，准线方程为x＝58.考点二求抛物线的标准方程求抛物线的方程通常有定义法和待定系数法．由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．例2求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．【思路点拨】首先判断焦点可能存在的位置，设出适当的方程的形式，然后求出参数p即可．【解】(1)当抛物线的焦点在x轴上时，可设抛物线方程为y2＝－2px(p0)，把点(－3,2)代入得22＝－2p×(－3)，∴p＝23，∴所求抛物线方程为y2＝－43x.当抛物线的焦点在y轴上时，可设抛物线方程为x2＝2py(p0)，把(－3,2)代入得(－3)2＝2p×2，∴p＝94，∴所求抛物线方程为x2＝92y.综上，所求抛物线的方程为y2＝－43x或x2＝92y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4,0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线焦点为(4,0)或(0，－2)，当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p0)，∵p2＝4，∴p＝8，∴抛物线方程为y2＝16x；当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p0)，∵－p2＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为x2＝－8y.综上，所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.【名师点评】(1)确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx(m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．(2)求抛物线标准方程的方法：特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论．自我挑战2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)；(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上；(3)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52.解：(1)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的标准方程为y2＝2px(p0)或x2＝－2p1y(p10)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝94.∴所求抛物线的方程为y2＝163x或x2＝－94y.(2)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.(3)由焦点到准线的距离为52，可知p＝52.∴所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.考点三抛物线的定义及其应用对于抛物线中的最值问题，其求解方法为把到焦点的距离化为到准线的距离，到准线的距离化为到焦点的距离．例3【思路点拨】先根据抛物线的定义求出抛物线方程．再利用平面几何的有关性质求出最小值．【解】(1)点M到点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1，即“点M到点F(0,1)的距离等于它到直线y＝－1的距离”，所以点M的轨迹是以F为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，此时，p＝2，故所求抛物线方程G为x2＝4y.(2011年青州高二检测)已知点A(12,6)，点M到F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1.(1)求点M的轨迹方程G；(2)在G上是否存在一点P，使点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和取得最小值？若存在，求此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图，易判断知点A在抛物线外侧，设P(x，y)，则P到x轴的距离即y值，设P到准线y＝－1的距离为d，则y＝d－1.故|PA|＋y＝|PA|＋d－1，由抛物线定义知|PF|＝d.于是|PA|＋d－1＝|PA|＋|PF|－1.由图可知，当A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|取最小值，为13.此时直线AF的方程为y＝512x＋1，由x2＝4yy＝512x＋1，得P点坐标为(3，94)．∴在抛物线G上存在点P(3，94)，使得所求距离之和最小为13.【名师点评】根据抛物线的定义，平面内与一个定点F和一条不过该点的直线l的距离相等的点的集合叫作抛物线，另一方面，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离．就是说，定义具有判定和性质的双重作用，本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用．自我挑战3已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点坐标．解：将x＝3代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±23.∵232，∴点A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为4，即|PA|＋|PF|的最小值为4，此时P点纵坐标为2，代入y2＝4x，得x＝1.∴点P坐标为(1,2)．方法感悟1．(1)“p”是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0.特别注意，当抛物线标准方程的一次项系数为负时，不要出现错误．(2)只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式．(3)抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．如抛物线x2＝－2y，一次项变量y≤0，所以抛物线开口向下．2．标准方程中只有一个参数p，求抛物线的标准方程，只需求出p的值即可，常用待定系数法．(1)用待定系数法求抛物线标准方程时，一定先确定焦点位置与开口方向，如果开口方向不确定时，可设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，或者x2＝ay(a≠0)；(2)当抛物线不在标准位置时，用定义来求．