凸函数的性质及其应用--虞华梁

本科毕业论文(2008届)题目:凸函数的性质及其应用学院:数学与信息科学学院专业:数学与应用数学（一本）班级:08数本一姓名:虞华梁学号:08109323131指导老师:赵才地完成日期:2012.04.15温州大学教务处制2目录1引言…………………………………………………………………（1）2凸函数的概念与等价定义2.1凸函数的概念………………………………………………（1）2.2凸函数的等价定义……………………………………………（2）3凸函数的简单性质…………………………………………………（3）4凸函数的判定定理…………………………………………………（5）5关于凸函数的几个重要不等式5.1Jensen不等式…………………………………………………（6）5.2Hadamard不等式………………………………………………（8）6凸函数的应用6.1凸函数在证明不等式中的应用…………………………………（9）6.2.一般凸函数和凸集……………………………………………（11）6.3广义凸函数求极小的问题………………………………………（12）6.4广义凸函数求极大的问题…………………………………………(13)参考文献……………………………………………………………………(14)1凸函数的性质及其应用虞华梁08数本一班摘要：函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的重点研究对象。而凸函数则是其中重要的一类。凸函数广泛应用于数学规划，控制论等领域。函数凸性是数学分析中的一个重要概念，它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式诸方面都有广泛的应用。凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。本文主要是研究几类凸函数的性质与应用。探讨拟凸函数、严格拟凸函数及强拟凸函数的定义、性质以及这三类函数之间相互转换的充分必要条件，也讨论拟凸函数的连续性和可微性。同时也对强伪凸函数性质进行研究，得到一些有意义的结论。关键词：凸函数性质应用1.引言凸函数是一类重要的函数，它的概念最早由Jensen给出。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。凸函数有许多良好的性质，例如，其中一个很重要的性质就是：在凸集中，凸函数的任何局部最小也是全局最小。它在数学的许多领域中都有着广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。本世纪初建立了凸函数理论以来,凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用。现行高等数学教材中,也都对函数的凸性作了介绍,由于各版本根据自己的需要,对凸函数这一概念作了不同形式的定义,本文就以凸函数几种定义的等价性给以证明,并给出简单的应用，应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数在证明一般不等式中的应用；研究凸函数在最优化中的应用，研究比凸函数更一般的各类凸函数，给出它们的定义及以及其之间的关系；以及广义凸函数求极小的问题（即广义凸规划）和广义凸函数求最大的问题。2.凸函数的概念与等价定义2.1凸函数的概念人们常用凸与凹来反映曲线的弯曲方向。这种从几何直观给出的关于曲线凸（凹）的概念反映在数学上就是表达该曲线的凸（凹）性概念。2定义2.1.1([1])设fx是定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点1x,2x,常有121222fxfxxxf，则称fx为I上的凸函数。定义2.1.2([2])若在定义I上成立不等式（1x≠2x）122xxf122fxfx，则称fx是I上严格的凸函数。例1.1.1指数函数xxa(a0,a≠1)是（-∞，+∞）上的严格凸函数。不难验证，恒正的函数xxa(a0,a≠1)满足关系式12122xxxx，由指数函数的单调性可知，当12xx时，必有12xx，再由不相等正数的几何平均值小于它们的算术平均值，则有12xx122xx，综上所述可得：122xx122xx，因此，xxa(a0,a≠1)是（-∞，∞）上的严格凸函数。2.2凸函数的等价定义定义2.2.1([3])设fx在区间I上有定义，fx在I上成为凸函数当且仅当对任意1x,2x∈I,任意∈(0,1)有121211fxxfxfx若不等号反向，则称fx为I上的凹函数。若“≤”改为“”，则称fx为I上的严格凸函数。定义2.2.2([4])设fx在区间I上有定义,fx在I上成为凸函数当且仅当对任意1x,2x∈I,有121222fxfxxxf.定义2.2.3([5])设fx在区间I上有定义，fx在I上成为凸函数当仅3当对任意1x,2x…,nx∈I,有111niniiixffxnn推论：若fx在区间I上成为凸函数，则对任意1x2x3x,有213231213232fxfxfxfxfxfxxxxxxx注：若fx在I上连续，则上述定义1,2,3等价。3.凸函数的简单性质在本节中，来叙述关于凸函数的一些常用的简单的性质。定理3.1([6])设xf在区间I上为凸函数，对任意0k，则:0k时，xkf在区间上为凸函数，0k时，xkf在区间上为凹函数。定理3.2([7])设xf，xg是间I上的凸函数，则其和xgxf也是I上的凸函数。由定理3.1和定理3.2可知下面的推论推论：设xf，xg是间I上的凸函数，则线性组合的函数0,2121kkxgkxfk为I上的凸函数，)0,(2121kkxgkxfk为I上的凹函数。定理3.3([8])若设xf，xg是间I上的凸函数，则xgxf,max为I上的凸函数定理3.4([9])设u是单调递增的凸函数，u=f(x)是凸函数，则复合函数xf也是凸函数定理3.5([10])设xf为区间I上的凹函数，0xf，则xf1为区间I上的凸函数，反之不真。证明：要证xf1为区间I上的凸函数，即证任意1,0,,21Rxx有42121111xfxfxxf,因为0xf，为凹函数。故有212111xfxfxxf.所以：21211111xfxfxxf只需证明：2121111xfxfxfxf,由于yfxfyfxf222，故2121111xfxfxxf成立，结论得证。另：设02xexf为R上的凸函数，但xexf21仍为凸函数。定理3.6([11])若xf在区间I上为凸函数，对任意Ix，则x为I的内点。则单侧导数xfxf'',皆存在，且xfxf''。推论：若xf为I上的凸函数，则xf在I上的内点连续。定理3.7([12])xf为区间ba,上的凸函数，对任意,,,0Rbax对任意Ix有00xfxxxf.证明：（必要性）已知xf为区间ba,上的凸函数，则由定理2.5可知对任bax,0，xf'存在，且00xxxfxf单调于0'xf。故对0'xf当0xx时有00xfxxxf，同理，当0'xf时，当0xx时有00xfxxxf，因为0'0'xfxf.故对，0'0'xfxf对bax,0，总有00xfxxxf.（充分性）对baxxx,321，由题设，对2x，存在使得baxxfxxxf,225在上式中分别令31,xxxx得12122323xxxfxfxxxfxf.证毕。4.凸函数的判定定理利用凸函数的定义判别函数x是否为凸函数，常常并不方便。因此需要建立一系列的便于应用的判别法。定理4.1([13])若函数x是区间ba,上的递增可积函数，则变动上限积分所定义的函数dttxxa是ba,上的一个凸函数。证明：设bxxa21，则dttdttxxxxxxxxxx22221121122122由于x是递增的，故dttxxxxdttxxxxxx21221221122122从而得0222211xxxx.这样，由定义1可知，x是凸函数。定理4.2([14])若x''在间I上存在，则x在I上成为凸函数的充分必要条件是：在I上0''x证明：（1）必要性，已知x为凸函数，令hxxtxx2,22121，并设21xx因而0h，这样就有2hthtt，即02ththt用反证法，假定0''t，由uututtu2lim''0''可知，存在0,0h，使得)0(''huuutut另外，从ututtututdud''2知tutut2是u的减函数。但这函数当0u时等于0。因此，tutut20.这与结论矛盾，因而0''t充分性，两次应用Lagrange中值定理有6)10('hxhxth，及)10(''''''hxhxh，从而hxhxhxhx'''2'再由0''x得xhxhx'在上式中，令2,211xxxxhx及2,212xxxxhx得xxxxxx'2121122,xxxxxx'1221222两式相加得0222211xxxx.故x是凸函数。证毕。定理4.3([15])若在区间I上存在x''，0''x，则x在区间I是严格凸函数。5.关于凸函数的几个重要不等式5.1Jensen不等式定理5.1.1([16])（凸函数的基本不等式）设x是间I上的凸函数，则对I中任意n个数nxxx,...,,21成立不等式nxxxnxxxnn......2121，当仅当nxxx...21时等号。定理5.1.2([16])（Jensen总和不等式）若x是I上的连续凸函数，nppp,...,,21是一组不为零的非负数，则成立不等式：nnnnnnpppxpxpxppppxpxpxp......|......212211212211，当仅当ix都相等时等式成立。证明：（1）特别地，设nppp,...,,21都是非负有理数，nnnlmplmplmp,...,,222111，nlll...,21为自然数；nmmm...,21为非负数，这样7