(正式)1.1.3导数的几何意义

(正式)1.1.3导数的几何意义P1P2P3P4PTTTTPPxfyxfyxfyxfyOyxOyxOyxOyx211.图1234?,,,,,,,.什么是趋势化变的割线时趋近于点沿着曲线当点图如察观nnnnPPxfxPxfnxfxP004321211PQoxyy=f(x)割线切线T一、曲线上一点的切线的定义新授此处切线定义与以前的定义有何不同？圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。2l1lxyABCxoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x0+△x,y1)M△x△y割线与切线的斜率有何关系呢？xxfxxfkPQ)()(xy0＝即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率kAT，ATk)0(x'fTxoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T想方法－－以直代曲！中的重要思近似代替。这是微积分的切线就可以用过点曲线附近，。因此，在点附近的曲线最贴紧点的切线过点，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比附近，在点观察图像，可以发现，PTPxfPxfPPTPxfPQPQxfPQPQxfPQPQP342312继续观察图像的运动过程，还有什么发现？.,,..,.以直代曲想方法这是微积分中重要的思附近的曲线点这替近似代切线我们用曲线上某点处的这里近似代替无理数用有理数如例刻画复杂的对象数学上常用简单的对象14163函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.)(0xf故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:))(()(000xxxfxfy二、导数的几何意义的应用例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.22103(1)31|limxxxyx解：2210[(1)1](11)|limxxxyx解：22(1)yx切线方程：20xy即：（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.2036limxxxx0lim3(2)xx6202lim2xxxx.,,,...,.附近的变化情况在述、比较曲线请描据图象根图象的数时间变化的函示跳水运动中高度随它表如图例21021056943112tttthttth0l1l2lthO0t1t2t311.图.,,,210变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在解：我们用曲线thtttxh.,,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt.,,.`,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt.,,.`,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt.,,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll0l1l2lthO0t1t2t311.图hto3t4t附近的变化情况。、在较曲线根据图像，请描述、比43ttth。数在两点附近单调递增点附近曲线上升，即函，所以在两斜率均大于处的切线的、函数在0tt43附近上升的快速附近比在这说明曲线在处切线的倾斜程度，处切线的倾斜程度大于但是4343tttt80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11.mlmgc/mint411.图..,min...,.,.,.min:)/:(,.10806040204113精确到率物浓度的瞬时变化血管中药时估计根据图象函数图象变化的单位随时间位单物浓度表示人体血管中药它如图例ttmlmgtfc它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓解,.,tf.在此点处的切线的斜率曲线tf.,,,.时变化率的近似值瞬可以得到此刻药物浓度估计这条切线的斜率利用网格线画出曲线上某点处的切如图411...,.,.'41804180ft所以它的斜率约为处的切线作.,,这些值是否正确一下验证时变化率的估计值下表给出了药物浓度瞬417004080604020.......'tft药物浓度的瞬时变化率三、函数的导函数：