2019-2020学年高中数学 1.3.2.1 二项式系数的性质课时作业（含解析）新人教A版选修2-

课时作业8二项式系数的性质知识点一与杨辉三角有关的问题1.如下图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行从左至右第14与第15个数之比为2∶3.111121133114641…答案34解析设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3.∴3C13n＝2C14n，即3·n！13！n－！＝2·n！14！n－！，∴n＝34.知识点二二项式系数和的问题2.若x＋1xn展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A．10B．20C．30D．120答案B解析由2n＝64，得n＝6，∴Tr＋1＝Cr6x6－r1xr＝Cr6x6－2r(0≤r≤6，r∈N)．由6－2r＝0，得r＝3.∴T4＝C36＝20.3．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1024，则n的值为()A．8B．9C．10D．11答案B解析由题意知(1＋1)n(3－1)＝1024，即2n＋1＝1024，所以n＝9.故选B.知识点三二项式系数的性质应用4.已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于()A．11B．10C．9D．8答案D解析∵只有第5项的二项式系数最大，∴n2＋1＝5.∴n＝8.5．已知(1＋2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是()A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项答案B解析设(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1.分别令x＝1，x＝－1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＝32n，a0－a1＋a2－a3＋…－a2n－1＋a2n＝1，两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝32n－12.由已知，得32n－12＝364，∴32n＝729＝36，即n＝3.(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.6．在二项式x＋13x2n的展开式中，(1)若第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3，求展开式中的常数项；(2)若所有奇数项的二项式系数的和为A，所有项的系数和为B，且AB＝24364，求展开式中二项式系数最大的项．解(1)依题意C4n∶C2n＝14∶3，化简：得(n－2)(n－3)＝56，解得n＝10或n＝－5(舍去)．∴Tr＋1＝Cr10·x10－r2·(3x2)－r＝3－rCr10x10－5r2，令10－5r2＝0得r＝2.∴常数项为第3项，T3＝3－2C210＝5.(2)由题意可知，A＝2n－1，B＝43n，则AB＝2n－143n＝24364，解得n＝5，展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项，T3＝C25(x)313x22＝109x－52，T4＝C35(x)213x23＝1027x－5.一、选择题1.x－1x11的展开式中二项式系数最大的项是()A．第3项B．第6项C．第6、7项D．第5、7项答案C解析x－1x11的展开式中第11＋12项和11＋12＋1项，即第6、7项的二项式系数相等，且最大．2.x＋1xn的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是()A．第8项B．第9项C．第8项和第9项D．第11项和第12项答案D解析由题意T8＝C7n(x)n－7·1x7＝C7nxn－212，故n＝21.则展开式中系数最大的项是第11项和第12项．3．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于()A．5B．6C．7D．8答案B解析由二项式系数的性质知：二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数最大值有一项Cm2m＝a，二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数最大值有两项Cm2m＋1＝Cm＋12m＋1＝b，因此13Cm2m＝7Cm2m＋1，所以13·m！m！m！＝7·m＋！m！m＋！，所以m＝6.故选B.4．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为()A．3B．6C．9D．12答案B解析解法一：x3＝[2＋(x－2)]3＝C0323＋C1322(x－2)＋C232(x－2)2＋C33(x－2)3＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6.解法二：右边x2的系数为C02a2＋C13(－2)a3＝a2－6a3，右边x3的系数为a3，利用左右两边对应系数相等，得a3＝1，a2－6a3＝0.∴a2＝6.故选B.5．(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为()A.1＋3102B.1－3102C.310－12D．－1＋3102答案B解析设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，两式相减可得，a1＋a3＋…＋a9＝1－3102，故选B.二、填空题6．下列关于(a＋b)10的说法：①展开式中的各二项式系数之和为1024；②展开式中第6项的二项式系数最大；③展开式中第5项与第7项的二项式系数最大；④展开式中第6项的系数最小．其中正确说法的个数为________．答案2解析根据二项式系数的性质，知(a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210＝1024，故说法①正确；(a＋b)10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项，即第6项的二项式系数最大，故说法②正确，说法③错误；易知展开式中各项的系数等于二项式系数，故第6项的系数最大，故说法④错误．7．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．答案6解析(x＋1)n展开式的各项系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.8．已知x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12·(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝________.答案7解析令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.三、解答题9．已知(3x＋x2)2n的展开式的系数和比(3x－1)n的展开式的系数和大992，求2x－1x2n的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．解由题意得22n－2n＝992，解得n＝5.(1)2x－1x10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T6＝C510·(2x)5·－1x5＝－8064.(2)设第k＋1项的系数的绝对值最大，则Tk＋1＝Ck10·(2x)10－k·－1xk＝(－1)k·Ck10·210－k·x10－2k.∴Ck10·210－k≥Ck－110·210－k＋1，Ck10·210－k≥Ck＋110·210－k－1，得Ck10≥2Ck－110，2Ck10≥Ck＋110，即11－k≥2k，k＋－k.∴83≤k≤113，∴k＝3，故系数的绝对值最大的是第4项T4＝(－1)3C310·27·x4＝－15360x4.10．已知(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9，求：(1)各项系数之和；(2)所有奇数项系数之和；(3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．解(1)令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.①(2)由(1)知，a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1.令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59.②将①②两式相加，可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－12.(3)解法一：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59.解法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9的展开式中各项的系数和，令x＝1，y＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.(4)奇数项的二项式系数之和为C09＋C29＋…＋C89＝28.偶数项的二项式系数之和为C19＋C39＋…＋C99＝28.