2019-2020学年高中数学 2.1.1 椭圆及其标准方程（2）（含解析）新人教A版选修1-1

课时作业11椭圆及其标准方程(2)知识点一椭圆定义的综合应用1.已知椭圆x225＋y29＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是()A．2B．4C．8D.32答案B解析设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线，∴|ON|＝12|ME|＝4.2．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．答案2120°解析∵a2＝9，b2＝2，∴c＝a2－b2＝9－2＝7，∴|F1F2|＝27.又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2.由余弦定理得cos∠F1PF2＝22＋42－722×2×4＝－12，∴∠F1PF2＝120°.知识点二椭圆标准方程的应用3.若方程x2m＋9＋y225－m＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A．－9＜m＜8B．8＜m＜25C．16＜m＜25D．m＞8答案B解析依题意，有25－m＞0，m＋9＞0，m＋9＞25－m，解得8＜m＜25.4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(0,2)C．(1，＋∞)D．(0,1)答案D解析方程x2＋ky2＝2可化为x22＋y22k＝1，若焦点在y轴上，则必有2k＞2，且k＞0，即0＜k＜1.知识点三相关点代入法求轨迹方程5.已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是()A．4x2＋y2＝1B．x＝y2C.x24＋y2＝1D．x2＋y24＝1答案A解析设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝x02，y＝y0.因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，所以x20＋y20＝1.①将x0＝2x，y0＝y代入方程①，得4x2＋y2＝1，所以点M的轨迹方程是4x2＋y2＝1.故选A.6．设F1，F2分别为椭圆x23＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A→＝5F2B→，则点A的坐标是________．答案(0,1)或(0，－1)解析由题意知F1(－2，0)，F2(2，0)．设点A和点B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，则F1A→＝(xA＋2，yA)，F2B→＝(xB－2，yB)．由F1A→＝5F2B→得xB＝xA＋625，yB＝yA5，代入椭圆方程得xA＋62523＋yA52＝1①.又x2A3＋y2A＝1②，由①②联立，解得xA＝0，yA＝±1.故点A的坐标为(0,1)或(0，－1)．一、选择题1．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝23，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A.x212＋y29＝1B.x29＋y212＝1C.x212＋y29＝1或x29＋y212＝1D.x248＋y245＝1或x245＋y248＝1答案C解析由已知2c＝|F1F2|＝23，∴c＝3.又2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝43，∴a＝23.∴b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.2．“mn0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析将方程mx2＋ny2＝1转化为x21m＋y21n＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上，则有1m0，1n0，且1n1m，即mn0.反之，mn0时，方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆．故选C.3．若椭圆x225＋y29＝1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为()A．9B．12C．15D．18答案A解析设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由∠F1PF2＝90°且|F1F2|＝8，知r21＋r22＝64.又r1＋r2＝10，可得r1r2＝18，所以S△PF1F2＝12r1r2＝9.4．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA＋sinCsinB＝()A.54B.52C．5D．无法确定答案A解析由题意，知|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10，所以sinA＋sinCsinB＝|BC|＋|AB||AC|＝108＝54.5．已知F1，F2分别为椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为()提示：△ABC的重心G的坐标为xA＋xB＋xC3，yA＋yB＋yC3A.x236＋y227＝1(y≠0)B.4x29＋y2＝1(y≠0)C.9x24＋3y2＝1(y≠0)D．x2＋4y23＝1(y≠0)答案C解析由椭圆C：x24＋y23＝1可知焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，设P(x′，y′)，G(x，y)，则有x＝－1＋1＋x′3＝x′3，y＝0＋0＋y′3＝y′3，所以x′＝3x，y′＝3y，又x′24＋y′23＝1，所以9x24＋9y23＝1，即9x24＋3y2＝1(y≠0)．二、填空题6．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于__________．答案8解析由题意得m－210－m0，解得6m10，且a2＝m－2，b2＝10－m，则c2＝a2－b2＝2m－12＝4，m＝8.7．设α∈0，π2，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围为________．答案0απ4解析由题意知，cosαsinα0，∴tanα1，∵α∈0，π2，∴0απ4.8．设P为椭圆x24＋y29＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1||PF2|的最大值是__________．答案9解析由已知a＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1||PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝9.当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时，式中等号成立．故|PF1||PF2|的最大值为9.三、解答题9．点P(x，y)到定点A(0，－1)的距离与到定直线y＝－14的距离之比为1414，求点P的轨迹方程．解根据题意得x2＋y＋2|y＋14|＝1414.将上式两边平方，并化简，得14x2＋13y2＝14×13，即x213＋y214＝1为所求．10．已知椭圆的方程为x24＋y23＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图)．求△PF1F2的面积．解由已知得a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝4－3＝1.从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4.又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，所以|PF2|＝4－|PF1|.从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4.解得|PF1|＝32.所以△PF1F2的面积S＝12·|PF1|·|F1F2|＝12×32×2＝32，即△PF1F2的面积是32.