2019-2020学年高中数学 2.1.2 椭圆的简单几何性质（1）（含解析）新人教A版选修1-1

课时作业12椭圆的简单几何性质(1)知识点一由椭圆方程研究简单几何性质1.椭圆25x2＋9y2＝1的范围为()A．|x|≤5，|y|≤3B．|x|≤15，|y|≤13C．|x|≤3，|y|≤5D．|x|≤13，|y|≤15答案B解析椭圆方程可化为x2125＋y219＝1，所以a＝13，b＝15，又焦点在y轴上，所以|x|≤15，|y|≤13.故选B.2．已知椭圆C1：x212＋y24＝1，C2：x216＋y28＝1，则()A．C1与C2顶点相同B．C1与C2长轴长相等C．C1与C2短轴长相等D．C1与C2焦距相等答案D解析由两个椭圆的标准方程，可知C1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为42.故选D.知识点二由椭圆的几何性质求方程3.已知直线2x＋y－2＝0经过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为()A.x25＋y24＝1B.x24＋y2＝1C.x29＋y24＝1D.x26＋y24＝1答案A解析直线2x＋y－2＝0与坐标轴的交点坐标为(1,0)，(0,2)，由题意得c＝1，b＝2，所以a＝b2＋c2＝5，所以椭圆的方程为x25＋y24＝1.4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．答案x281＋y272＝1解析由2a＝18，得a＝9.又因为2c＝183＝6，所以c＝3.所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为x281＋y272＝1.知识点三椭圆的离心率问题5.椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A.32B.34C.22D.23答案A解析将椭圆方程x2＋4y2＝1化为标准方程得x2＋y214＝1，则a2＝1，b2＝14，c＝a2－b2＝32，离心率e＝ca＝32.6．如图所示，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，OP∥AB，则椭圆的离心率为________．答案22解析解法一：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则kAB＝－ba.又PF⊥x轴，∴P点的坐标为－c，b2a，∴kOP＝－b2ac.∵OP∥AB，∴kAB＝kOP，即－ba＝－b2ac，∴b＝c，a2＝2c2，因此，a＝2c，∴e＝22.解法二：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则P－c，b2a.又OP∥AB，∴∠POF＝∠BAO，∴Rt△OPF∽Rt△ABO，∴|PF||BO|＝|OF||AO|，即b2ab＝ca，即ba＝ca，∴b＝c，∴a＝2c，∴e＝ca＝22.7．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝π3，求椭圆离心率的取值范围．解在△F1PF2中，∠F1PF2＝π3，由余弦定理，可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosπ3＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，由于|PF1|＋|PF2|＝2a，所以4c2＝4a2－3|PF1|·|PF2|.结合基本不等式，可得4a2－4c2＝3|PF1||PF2|≤3|PF1|＋|PF2|22＝3a2(当且仅当|PF1|＝|PF2|＝a时等号成立)，即a2≤4c2，可得e≥12，又∵e1，∴椭圆离心率的取值范围是12，1.一、选择题1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A．(－1,0)，(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－6，0)，(6，0)D．(0，－6)，(0，6)答案D解析方程化为标准形式为x2＋y26＝1，其焦点在y轴上，由于a2＝6，∴a＝6.∴长轴的端点坐标为(0，±6)，故选D.2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为()A.x22＋y24＝1B．x2＋y26＝1C.x26＋y2＝1D.x28＋y25＝1答案B解析椭圆9x2＋4y2＝36可化为x24＋y29＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，则c＝5.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋y26＝1.3．如果椭圆x2k＋8＋y29＝1(k－8)的离心率为e＝12，则k＝()A．4B．4或－54C．－45D．4或－45答案B解析若椭圆的焦点在x轴上，则k＋8－9k＋8＝14，解得k＝4；若椭圆的焦点在y轴上，则9－k＋9＝14，解得k＝－54.所以k＝4或k＝－54.4．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为()A.5－12B.3－12C.32D.5＋12答案A解析依题意得，4b2＝4ac，∴b2a2＝ca，即1－e2＝e.∴e2＋e－1＝0，∴e＝5－12(舍去负值)．5．若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为()A．2B．3C．6D．8答案C解析由题意得，F(－1,0)，设点P(x0，y0)，则y20＝31－x204(－2≤x0≤2)，因为OP→＝(x0，y0)，FP→＝(x0＋1，y0)，所以OP→·FP→＝x0(x0＋1)＋y20＝x20＋x0＋y20＝x20＋x0＋31－x204＝14(x0＋2)2＋2，所以当x0＝2时，OP→·FP→取得最大值6.二、填空题6．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点的坐标为F(2,0)，给出下列四个条件：①短半轴长为2；②长半轴长为22；③离心率为22；④一个顶点坐标为(2,0)．其中可求得椭圆方程为x28＋y24＝1的条件有________(填序号)．答案①②③解析只需保证a＝22，b＝2，c＝2即可，而椭圆的顶点坐标为(0，±2)，(±22，0)，故①②③可求得椭圆方程为x28＋y24＝1.7．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②x29＋y25＝1的形状，则________更扁(填序号)．答案①解析x2＋9y2＝36化为标准方程得x236＋y24＝1，故离心率e1＝426＝223；椭圆x29＋y25＝1的离心率e2＝23.因为e1e2，故①更扁．8．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________．答案33解析由题意，△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝60°，所以|PF2|＝2|PF1|.设|PF1|＝x，则|PF2|＝2x，|F1F2|＝3x，又|F1F2|＝2c，所以x＝2c3，即|PF1|＝2c3，|PF2|＝4c3.由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2c3＋4c3＝2a，即e＝ca＝33.三、解答题9．求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解椭圆的标准方程为x29＋y281＝1，则a＝9，b＝3，c＝a2－b2＝62，长轴长：2a＝18；短轴长：2b＝6；焦点坐标：(0,62)，(0，－62)；顶点坐标：(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)．离心率e＝ca＝223.10．如下图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF2→＝2F2B→，AF1→·AB→＝32，求椭圆的方程．解(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝2c，e＝ca＝22.(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中，c＝a2－b2，设B(x，y)．由AF2→＝2F2B→⇔(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝3c2，y＝－b2，即B3c2，－b2.将B点坐标代入x2a2＋y2b2＝1，得94c2a2＋b24b2＝1，即9c24a2＋14＝1，解得a2＝3c2.①又由AF1→·AB→＝(－c，－b)·3c2，－3b2＝32⇒b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.所以椭圆方程为x23＋y22＝1.