2019-2020学年高中数学 2.2.2 反证法课时作业（含解析）新人教A版选修1-2

课时作业7反证法知识点一反证法的概念1.反证法是()A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法B．对其否命题的证明C．对其逆命题的证明D．分析法的证明方法答案A解析由反证法的定义可知A正确，故选A.2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④答案C解析根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中应把“结论的否定”“已知条件”“公理、定理、定义”等作为条件使用.知识点二反证法的步骤3.有下列叙述：①“ab”的反面是“ab”；②“x＝y”的反面是“xy或xy”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案B解析①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．在用反证法证明“已知：p3＋q3＝2，求证p＋q≤2”时的反设为__________，得出的矛盾为__________．答案p＋q2(q－1)20解析假设p＋q2，则p2－q.∴p3(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.将p3＋q3＝2代入得：6q2－12q＋60，∴(q－1)20，显然不成立．∴p＋q≤2.知识点三用反证法证明命题5.已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，两边同时平方，得a＋c＋2ac＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2ac＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾．所以a，b，c不成等差数列.易错点反设错误或不全面致错6.已知x，y∈R且x2＋y2＝0，求证：x，y全为零．易错分析本题中易出现反设错误而致错，x，y全为零的否定应为x，y不全为零，即至少有一个不是零．证明假设x，y不全为零，则有以下三种可能：(1)x＝0，y≠0，则x2＋y20，与x2＋y2＝0矛盾；(2)x≠0，y＝0，则x2＋y20，与x2＋y2＝0矛盾；(3)x≠0，y≠0，则x2＋y20，与x2＋y2＝0矛盾．故假设不成立，则x，y全为零．一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解答案C解析在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.2．用反证法证明命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程ax＝b(a≠0)()A．无解B．有两解C．至少有两解D．无解或至少有两解答案D解析“唯一”的否定上“至少两解或无解”．3．设a，b，c是正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“P·Q·R0”是“P，Q，R同时大于零”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析必要性显然成立．充分性：若P·Q·R0，则P，Q，R同时大于零或其中两个负的一个正的，不妨设P0，Q0，R0.∵P0，Q0，即a＋bc，b＋ca，∴a＋b＋b＋cc＋a.∴b0，这与a，b，c都是正数矛盾，故P，Q，R同时大于零．4．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则()A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形答案D解析因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cosA1＝sinA2，则cosA1＝cos(90°－∠A2)，所以∠A1＝90°－∠A2.同理设cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，则有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，∴(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立．故选D.二、填空题5．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．答案a≠1或b≠1解析“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.6．用反证法证明“一个三角形不能有两个钝角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个钝角．③假设△ABC中有两个钝角，不妨设∠A90°，∠B90°.上述步骤的正确顺序为__________．答案③①②解析根据反证法知，上述步骤的正确顺序应为③①②.7．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________．答案{a|a≤－2或a≥－1}解析假设两个一元二次方程均无实根，则有Δ1＝a－2－4a20，Δ2＝a2－－2a，即3a2＋2a－10，a2＋2a0，解得{a|－2a－1}，所以其补集{a|a≤－2或a≥－1}即为所求的a的取值范围．三、解答题8．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．证明假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α，β为它的两个实根，则f(α)＝f(β)＝0.因为α≠β，不妨设αβ，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾．所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实根．9．已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.∴a＝b＝c.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．