2019-2020学年高中数学 2.2.2 双曲线的简单几何性质（1）（含解析）新人教A版选修1-1

课时作业16双曲线的简单几何性质(1)知识点一由双曲线的标准方程研究几何性质1.若直线x＝a与双曲线x24－y2＝1有两个交点，则a的值可以是()A.4B.2C.1D.－2答案A解析∵双曲线x24－y2＝1中，x≥2或x≤－2，∴若x＝a与双曲线有两个交点，则a2或a－2，故只有A选项符合题意．2．双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为()A.23B.2C.3D.1答案A解析不妨取焦点(4,0)和渐近线y＝3x，则所求距离d＝|43－0|3＋1＝23.故选A.3．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．解把方程化为标准形式为x212－y222＝1，由此可知，实半轴长a＝1，虚半轴长b＝2.顶点坐标是(－1,0)，(1,0)．c＝a2＋b2＝12＋22＝5，∴焦点坐标是(－5，0)，(5，0)．离心率e＝ca＝5，渐近线方程为x1±y2＝0，即y＝±2x.知识点二求双曲线的离心率4.下列方程表示的曲线中离心率为62的是()A.x22－y24＝1B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1D.x24－y210＝1答案B解析∵e＝ca，c2＝a2＋b2，∴e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝622＝32.故b2a2＝12，观察各曲线方程得B项系数符合，应选B.5．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．解设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得c2a2－y2b2＝1，∴y＝±b2a.由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，∴b2a＝2c.∴b2＝2ac.∴c2－2ac－a2＝0.∴ca2－2·ca－1＝0.即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋2或e＝1－2(舍去)．所以所求双曲线的离心率为1＋2.知识点三由双曲线的几何性质求标准方程6.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，则C的方程是()A.x24－y25＝1B.x24－y25＝1C.x22－y25＝1D.x22－y25＝1答案B解析由右焦点为F(3,0)可知c＝3，又因为离心率等于32，所以ca＝32，所以a＝2.由c2＝a2＋b2知b2＝5，故双曲线C的方程为x24－y25＝1，故选B.7．已知双曲线x24－y2b2＝1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.x24－3y24＝1B.x24－4y23＝1C.x24－y24＝1D.x24－y212＝1答案D解析根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±b2x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝b2x，x2＋y2＝4得xA＝44＋b2，yA＝2b4＋b2，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝32b4＋b2＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为x24－y212＝1，选D.一、选择题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A.2B.22C.4D.42答案C解析双曲线方程可变形为x24－y28＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.2．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为()A.43B.53C.2D.3答案B解析不妨设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则2·2b＝2a＋2c，即b＝a＋c2.又b2＝c2－a2，则a＋c22＝c2－a2，所以3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，注意到e1，得e＝53.故选B.3．若中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为()A.y＝±54xB.y＝±45xC.y＝±43xD.y＝±34x答案D解析设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．因为ca＝53，所以a2＋b2a2＝259，所以ba＝43.所以双曲线的渐近线方程为y＝±abx，即双曲线的渐近线方程为y＝±34x，故选D.4．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.2B.3C.2D.3答案B解析设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入x2a2－y2b2＝1可得y2＝b4a2，所以|AB|＝2·b2a＝2·2a.∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝ca＝3.5．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP→·FP→的取值范围为()A.[3－23，＋∞)B.[3＋23，＋∞)C.－74，＋∞D.74，＋∞答案B解析因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为x23－y2＝1.设点P(x0，y0)(x0≥3)，则x203－y20＝1(x0≥3)，可得y20＝x203－1(x0≥3)，易知FP→＝(x0＋2，y0)，OP→＝(x0，y0)，所以OP→·FP→＝x0(x0＋2)＋y20＝x0(x0＋2)＋x203－1＝4x203＋2x0－1，此二次函数对应的图象的对称轴为x0＝－34.因为x0≥3，所以当x0＝3时，OP→·FP→取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP→·FP→的取值范围是[3＋23，＋∞)．二、填空题6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(5，0)，则a＝________；b＝________.答案12解析由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知ba＝2，由c＝5，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.7．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．答案x2－y2＝8解析由双曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上，直线3x－4y＋12＝0与x轴的交点坐标为(－4,0)，故双曲线的一个焦点为(－4,0)，即c＝4.设等轴双曲线方程为x2－y2＝a2，则c2＝2a2＝16，解得a2＝8，所以双曲线方程为x2－y2＝8.8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与圆x2＋y2－4x＋2＝0有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是________．答案(1，2]解析将圆的方程配方，得(x－2)2＋y2＝2.双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0.由于双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与圆x2＋y2－4x＋2＝0有公共点，所以|2b±0|a2＋b2≤2.又c2＝a2＋b2，所以c2≤2a2，即e≤2，所以离心率的取值范围为(1，2]．三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；(2)与双曲线x29－y216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)．解(1)∵顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为y2a2－x2b2＝1，∴a＝6.又∵e＝1.5，∴c＝a×e＝6×1.5＝9，b2＝c2－a2＝45.故所求的双曲线方程为y236－x245＝1.(2)解法一：双曲线x29－y216＝1的渐近线为y＝±43x，令x＝－3，y＝±4，因234，故点(－3,23)在射线y＝－43x(x≤0)及x轴负半轴之间，∴双曲线焦点在x轴上．设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，(a0，b0)，则ba＝43，－2a2－32b2＝1，解之得a2＝94，b2＝4.∴双曲线方程为x294－y24＝1.解法二：设双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，∴－29－3216＝λ.∴λ＝14，∴双曲线方程为x294－y24＝1.10．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积．解(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线方程为x2m2－y2n2＝1(a，b，m，n0，且ab)，则a－m＝4，7×13a＝3×13m，解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2，所以椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4，所以cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝45，所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝12×10×4×35＝12.