2019-2020学年高中数学 2.3.1 离散型随机变量的均值（1）（含解析）新人教A版选修2-3

课时作业15离散型随机变量的均值(1)知识点一离散型随机变量均值的定义1.已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望E(X)＝()A.32B．2C.52D．3答案A解析由已知条件可得E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.故选A.2．某一离散型随机变量的分布列为ξ0123P0.1ab0.1且E(ξ)＝1.5，则a－b的值为()A．－0.1B．0C．0.1D．0.2答案B解析由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.5，得a＋2b＝1.2且0.1＋a＋b＋0.1＝1，解得a＝0.4，b＝0.4.故a－b＝0.知识点二离散型随机变量的均值的性质3.若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E(ξ)的值为()ξ012345P2x3x7x2x3xxA.118B.19C.209D.920答案C解析由2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，得x＝118，E(ξ)＝0×19＋1×16＋2×718＋3×19＋4×16＋5×118＝209.4．设ξ的分布列为ξ1234P16161313又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于()A.76B.176C.173D.323答案D解析E(ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176，E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×176＋5＝323.知识点三离散型随机变量的均值的求法5.今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)等于()A．0.765B．1.75C．1.765D．0.22答案B解析P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋(1－0.9)×0.85＝0.22；P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.6．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现有无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．解X可取的值为1,2,3，则P(X＝1)＝35，P(X＝2)＝25×34＝310，P(X＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X的分布列为ξ123P35310110E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5.一、选择题1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数ξ的数学期望为()A．0.6B．1C．3.5D．2答案C解析抛掷骰子所得点数ξ的分布列为ξ123456P161616161616所以，E(ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5.2．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为23，则此人试验次数ξ的均值是()A.43B.139C.53D.137答案B解析试验次数ξ的可能取值为1,2,3，则P(ξ＝1)＝23，P(ξ＝2)＝13×23＝29，P(ξ＝3)＝13×13×23＋13＝19.所以ξ的分布列为ξ123P232919∴E(ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.3．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如表，则m的值为()X1234P14mn112A.13B.14C.16D.18答案A解析由Y＝12X＋7得E(Y)＝12E(X)＋7＝34，从而E(X)＝94，所以1×14＋2m＋3n＋4×112＝94，又因为14＋m＋n＋112＝1，联立上面两式，解得m＝13.4．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是()A．7.8B．8C．16D．15.6答案A解析X的取值为6,9,12，P(X＝6)＝C38C310＝715，P(X＝9)＝C28C12C310＝715，P(X＝12)＝C18C22C310＝115.E(X)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.5．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于()A.126125B.65C.168125D.75答案B解析125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)＝27125×0＋54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65.二、填空题6．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________.答案－16解析∵P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，P(X＝3)＝3a＋b，∴E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，即14a＋6b＝3，①又∵(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，∴6a＋3b＝1，②由①②，可知a＝12，b＝－23，∴a＋b＝－16.7．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是__________．答案8.5解析从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是110，∴E(X)＝110×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.8．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.答案53解析因为P(X＝0)＝112＝(1－p)2×13，所以p＝12.随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝112，P(X＝1)＝23×122＋13×122×2＝13，P(X＝2)＝23×122×2＋13×122＝512，P(X＝3)＝23×122＝16，所以E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.三、解答题9．交5元钱，可以参加一次摸奖．一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有“1元钱”，2个标有“5元钱”，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖金是所抽2个球上标的钱数之和．求抽奖人获利的均值．解设X为抽到的2个球上标的钱数之和，则X的可能取值如下：X＝2，抽到两个标有“1元钱”的球；X＝6，抽到一个标有“1元钱”的球，一个标有“5元钱”的球；X＝10，抽到两个标有“5元钱”的球．由题意可知P(X＝2)＝C28C210＝2845，P(X＝6)＝C18C12C210＝1645，P(X＝10)＝C22C210＝145.因此E(X)＝2×2845＋6×1645＋10×145＝16245＝185.若用Y表示抽奖人获利的可能值，则Y＝X－5，故获利的均值E(Y)＝E(X)－5＝185－5＝－75＝－1.4.10．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求T的分布列与均值E(T)；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区作一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．解(1)由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32.(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．解法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.解法二：P(A－)＝P(T1＋T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.故P(A)＝1－P(A－)＝0.91.