2019-2020学年高中数学 3.1.2 复数的几何意义课时作业（含解析）新人教A版选修1-2

课时作业9复数的几何意义知识点一复数的几何意义1.当23m1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析∵23m1，∴3m－20，m－10，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．2．若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为()A．0B．－3C．－3iD．3答案C解析由OZ→＝(0，－3)，得点Z的坐标为(0，－3)，∴OZ→对应的复数为0－3i＝－3i.故选C.知识点二复数的模3.复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1||z2|，则实数a的取值范围是()A．(－1,1)B．(1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案A解析∵|z1|＝a2＋4，|z2|＝5，∴a2＋45，∴－1a1.4．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为__________．答案13解析∵|z|＝－2＋－2＝13，∴对应点到原点的距离为13.知识点三复数几何意义的应用5.在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．解解法一：由已知，得点A，B，C的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，则AC的中点为E2，32.由平行四边形的性质，知E也是BD的中点．设D点的坐标为(x，y)，则x＋12＝2，y＋02＝32，∴x＝3，y＝3.即D点的坐标为(3,3)．∴D点对应的复数为3＋3i.解法二：由已知，得OA→＝(0,1)，OB→＝(1,0)，OC→＝(4,2)，∴BA→＝(－1,1)，BC→＝(3,2)．∴BD→＝BA→＋BC→＝(2,3)．∴OD→＝OB→＋BD→＝(3,3)．∴点D对应的复数为3＋3i.易错点混淆复数的模与绝对值6.已知复数z满足|z|＝1，则z＝()A．±1B．±iC．a＋bi(a，b∈R)，且a2＋b2＝1D．1＋i易错分析本题会因误认为复数的模就是绝对值而导致错误．对于复数a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时，|a＋bi|＝a2＋b2；当b＝0时，|a＋bi|＝|a|.答案C解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由|z|＝1，得a2＋b2＝1.故选C.一、选择题1．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1)B．(－1,3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)答案A解析由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以m＋30，m－10，解得－3m1，故选A.2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i答案C解析由题意知A(6,5)，B(－2,3)，则AB中点C(2,4)对应的复数为2＋4i.3．复平面内，向量OA→表示的复数为1＋i，将OA→向右平移一个单位后得到向量O′A′→，则向量O′A′→与点A′对应的复数分别为()A．1＋i,1＋iB．2＋i,2＋iC．1＋i,2＋iD．2＋i,1＋i答案C解析∵OA→表示复数1＋i，∴点A(1,1)，将OA→向右平移一个单位，则O′A′→对应1＋i，A′(2,1)，∴点A′对应复数2＋i.故选C.4．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹是()A．直线B．圆心在原点的圆C．圆心不在原点的圆D．椭圆答案C解析因为a，x，y∈R，所以a2＋2a＋2xy∈R，a＋x－y∈R.又a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，所以a2＋2a＋2xy＝0，a＋x－y＝0，消去a得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，即x2＋y2－2x＋2y＝0，亦即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为2的圆．二、填空题5．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若OC→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则x＋y的值是________．答案5解析由已知，得OA→＝(－1,2)，OB→＝(1，－1)，OC→＝(3，－2)，∴xOA→＋yOB→＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)．由OC→＝xOA→＋yOB→，可得－x＋y＝3，2x－y＝－2，解得x＝1，y＝4，∴x＋y＝5.6．复数z＝1＋cosα＋isinα(πα2π)的模的取值范围为________．答案(0,2)解析|z|＝＋cosα2＋sin2α＝2＋2cosα，∵πα2π，∴－1cosα1.∴02＋2cosα4.∴|z|∈(0,2)．7．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－3－2i，z4＝3－2i，z1，z2，z3，z4在复平面内的对应点分别是A，B，C，D，则∠ABC＋∠ADC＝________.答案180°解析|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝5，所以点A，B，C，D应在以原点为圆心，5为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD对角互补，所以∠ABC＋∠ADC＝180°.三、解答题8．实数m为何实数时，复平面内表示复数z＝(1－m)＋(4－m2)i的点位于(1)虚轴上；(2)第二象限；(3)直线3x－y＋1＝0上．解∵m为实数，∴1－m,4－m2都是实数，∴复数z＝(1－m)＋(4－m2)i对应的点的坐标为(1－m,4－m2)．(1)复数z对应的点位于虚轴上，则1－m＝0，解得m＝1.(2)复数z对应的点位于第二象限，则1－m0，4－m20，∴m1，－2m2，故1m2.(3)复数z对应的点位于直线3x－y＋1＝0上，则3(1－m)－(4－m2)＋1＝0，解得m＝0或m＝3.9．已知复数z＝2＋cosθ＋(1＋sinθ)i(θ∈R)，试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．解设复数z与复平面内的点(x，y)相对应，则由复数的几何意义可知x＝2＋cosθ，y＝1＋sinθ.由sin2θ＋cos2θ＝1可得(x－2)2＋(y－1)2＝1.所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆．