2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数学案 苏教版选修

1.1.2瞬时变化率——导数学习目标核心素养1.结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义．(重点、难点)2．会求简单函数在某点处的导数及切线方程．(重点)3．理解导数与平均变化率的区别与联系．(易错点)1.通过导数的概念，培养数学抽象素养．2．借助导数的几何意义，提升数学运算素养.1．曲线上一点处的切线如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度与瞬时加速度(1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率St0＋Δt－St0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率vt0＋Δt－vt0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．3．导数(1)函数在一点处的导数及其几何意义设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．(2)导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．(3)导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．1．如果质点A的运动方程为y＝3t2，则它在t＝1时的瞬时速度为()A．6tB．3C．6＋ΔtD．6D[ΔyΔt＝31＋Δt2－3×12Δt＝6＋3Δt.当Δt→0时，ΔyΔt在t＝1时的瞬时速度为6.故选D.]2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交B[由导数的几何意义知B正确．]3．已知f(x)＝2x＋5，则f(x)在x＝2处的导数为________．2[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)＋5－(2×2＋5)＝2Δx，∴ΔyΔx＝2，∴f′(2)＝2.]4．函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，若P点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________.－1[由导数的几何意义，f′(4)＝－2.又f(4)＝－2×4＋9＝1，故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1.]求瞬时速度、瞬时加速度【例1】(1)以初速度v0(v00)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－12gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是__________．[思路探究]先求出ΔsΔt，再求瞬时速度．(1)v0－gt0(2)6[(1)∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－v0t0－12gt20＝v0Δt－gt0Δt－12g(Δt)2，∴ΔsΔt＝v0－gt0－12gΔt，∴当Δt→0时，ΔsΔt→v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，∴ΔsΔt＝2Δt3＋6Δt2＋6ΔtΔt＝2(Δt)2＋6Δt＋6，∴当Δt→0时，ΔsΔt→6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.]求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求平均速度v＝ΔsΔt；(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．1．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．[解](1)ΔsΔt＝sΔt－s0Δt＝3Δt－Δt2Δt＝3－Δt，当Δt→0时，3－Δt→3，即物体的初速度为3m/s.(2)ΔsΔt＝s2＋Δt－s2Δt＝32＋Δt－2＋Δt2－3×2－4Δt＝－Δt2－ΔtΔt＝－Δt－1，当Δt→0时，－Δt－1→－1，即物体在t＝2时的瞬时速度为1m/s，方向与初速度方向相反．(3)v＝s2－s02－0＝6－4－02＝1，即t＝0到t＝2时的平均速度为1m/s.求函数在某点处的导数【例2】求函数y＝4x2在x＝2处的导数．[思路探究]求Δy→计算ΔyΔx→当Δx→0，得导数[解]令f(x)＝4x2，则Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝42＋Δx2－1＝－4Δx－Δx22＋Δx2，∴ΔyΔx＝－4－Δx2＋Δx2，当Δx→0时，ΔyΔx→－1，∴函数y＝4x2在x＝2处的导数为－1.由导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)Δx→0，得导数f′(x0)．2．求函数f(x)＝x－1x在x＝1处的导数．[解]∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－1－11＝Δx＋1－11＋Δx＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，当Δx→0时，1＋11＋Δx→2，∴函数在x＝1处的导数等于2.导数的几何意义及其应用[探究问题]1．若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？[提示]根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？[提示]不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？[提示]区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值．【例3】已知曲线f(x)＝1x.(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．[思路探究](1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．(2)设出切点坐标，由该点斜率为－13，求出切点，进而求出切线方程．[解](1)ΔyΔx＝1x＋Δx－1xΔx＝－1x＋Δxx，当Δx→0时，ΔyΔx→－1x2.设过点A(1,0)的切线的切点为Px0，1x0，则f′(x0)＝－1x20，即该切线的斜率为k＝－1x20.因为点A(1,0)，Px0，1x0在切线上，所以1x0－0x0－1＝－1x20，解得x0＝12.故切线的斜率k＝－4.故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，即4x＋y－4＝0.(2)设斜率为－13的切线的切点为Qa，1a，由(1)知，k＝f′(a)＝－1a2＝－13，得a＝±3.所以切点坐标为3，33或－3，－33.故满足斜率为－13的曲线的切线方程为y－33＝－13(x－3)或y＋33＝－13(x＋3)，即x＋3y－23＝0或x＋3y＋23＝0.1．求曲线过已知点的切线方程的步骤2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．3．已知抛物线y＝2x2，则抛物线在点(1,2)处的切线方程为________．4x－y－2＝0[因为ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx＝21＋Δx2－2×12Δx＝4＋2Δx，当Δx→0时，4＋2Δx→4，所以f′(1)＝4.所以切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.]1．瞬时速度、瞬时加速度即为当Δt→0时的ΔyΔt的极限值．2．导数的几何意义：曲线上某点的导数即为该点处切线的斜率．3．在求切线方程时，要注意“过点”与“在点”的区别，求切线方程的关键是求切点坐标.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．()(3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()(4)函数f(x)＝0没有导函数．()[解析](1)正确．(2)错．导函数的定义域和原函数的定义域可能不同，如f(x)＝x12，其定义域为[0，＋∞)，而其导函数f′(x)＝12x，其定义域为(0，＋∞)．(3)错．直线与曲线相切时，直线与曲线的交点可能有多个．(4)错．函数f(x)＝0为常数函数，其导数f′(x)＝0，并不是没有导数．[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3s末的瞬时速度是()A．7m/sB．6m/sC．5m/sD．8m/sC[∵ΔsΔt＝1－3＋Δt＋3＋Δt2－1－3＋32Δt＝5＋Δt，当Δt→0时，5＋Δt→5，∴物体在3s末的瞬时速度为5m/s.]3．曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为________．x＋2y＋4＝0[ΔyΔx＝f－2＋Δx－f－2Δx＝2－2＋Δx＋1Δx＝1－2＋Δx，当Δx→0时，ΔyΔx→－12.∴切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.]4．求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．[解]设切点为Q(a，a2＋1)，fa＋Δx－faΔx＝a＋Δx2＋1－a2＋1Δx＝2a＋Δx，当Δx→0时，2a＋Δx→2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，a2＋1－0a－1＝2a，解得a＝1±2，所以所求的切线方程为y＝(2＋22)x－(2＋22)或y＝(2－22)x－(2－22)，即y＝(2＋22)x－2－22或y＝(2－22)x－2＋22.