2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.4.2 微积分基本定理讲义 新人教B版选修

1.4.2微积分基本定理学习目标核心素养1．理解并掌握微积分基本定理．(重点、易混点)2．能用微积分基本定理求定积分．(难点)3．能用定积分解决有关的问题．1．通过微积分基本定理的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理素养.2．借助定理求定积分和利用定积分求参数，提升学生的数学运算素养.微积分基本定理1．F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之差．2．如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则abf(x)dx＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．由于[F(x)＋c]′＝f(x)，F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F(a)简记作F(x)|ba.因此，微积分基本定理可以写成形式：abf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．()[答案](1)√(2)√(3)√2．若a＝01(x－2)dx，则被积函数的原函数为()A．f(x)＝x－2B．f(x)＝x－2＋CC．f(x)＝12x2－2x＋CD．f(x)＝x2－2x[解析]由微积分基本定理知，f′(x)＝x－2，∵12x2－2x＋C′＝x－2，∴选C.[答案]C利用微积分基本定理求定积分【例1】(1)定积分01(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1(2)求下列定积分．①12(x2＋2x＋3)dx；②0π2sin2x2dx.[解析](1)01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝(12＋e)－(02＋e0)＝1＋e－1＝e.[答案]C(2)①12(x2＋2x＋3)dx＝12x2dx＋122xdx＋123dx＝x33|21＋x2|21＋3x|21＝253.②sin2x2＝1－cosx2，而12x－12sinx′＝12－12cosx＝sin2x2，∴0π2sin2x2dx＝12x－12sinx|π20＝π4－12＝π－24.求简单的定积分关键注意两点1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．(1)若01(kx＋1)dx＝2，则k的值为()A．1B．2C．3D．4(2)12x－1x2dx＝________.[解析](1)01(kx＋1)dx＝12kx2＋x|10＝12k＋1＝2，∴k＝2.(2)12x－1x2dx＝121x－1x2dx＝lnx＋1x|21＝ln2＋12－(ln1＋1)＝ln2－12.[答案](1)B(2)ln2－12求分段函数的定积分【例2】计算下列定积分．(1)f(x)＝sinx，0≤xπ2，1，π2≤x≤2，x－1，2x≤4，求04f(x)dx；(2)02|x2－1|dx.[思路探究](1)按f(x)的分段标准，分成0，π2，π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解](1)04f(x)dx＝0π2sinxdx＋π221dx＋24(x－1)dx＝(－cosx)π20＋x2π2＋12x2－x42＝1＋2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)02|x2－1|dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝x－13x310＋13x3－x21＝2.1．本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．2．计算定积分：-33(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.[解]设f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|，x∈[－3,3]，则f(x)＝－4x，－3≤x－32，6，－32≤x≤32，4x，32x≤3.利用定积分求参数[探究问题]1．满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗？提示：不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．2．如何求对称区间上的定积分？提示：在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．【例3】已知f(x)是一次函数，其图象过点(1,4)，且01f(x)dx＝1，求f(x)的解析式．[思路探究]设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解．[解]设f(x)＝kx＋b(k≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k＋b＝4.①又01f(x)dx＝01(kx＋b)dx＝k2x2＋bx10＝k2＋b，所以k2＋b＝1．②由①②得k＝6，b＝－2，所以f(x)＝6x－2.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．上例中，若把“已知f(x)是一次函数”改为“已知f(x)＝ax2＋bx(a≠0)”，其余条件不变，求f(x)的解析式．[解]∵函数的图象过点(1,4)，∴a＋b＝4，①又01f(x)dx＝01(ax2＋bx)dx＝a3x3＋b2x2|10＝a3＋b2，∴a3＋b2＝1，②由①②得a＝6，b＝－2，所以f(x)＝6x2－2x.1．下列值等于1的是()A.01xdxB.01(x＋1)dxC.011dxD.0112dx[解析]选项A，因为x22′＝x，所以01xdx＝x22|10＝12；选项B，因为x22＋x′＝x＋1，所以01(x＋1)dx＝x22＋x|10＝32；选项C，因为x′＝1，所以011dx＝x|10＝1；选项D，因为12x′＝12，所以0112dx＝12x|10＝12.[答案]C2．-π2π2(sinx＋cosx)dx的值是()A．0B.π4C．2D．4[解析]-π2π2(sinx＋cosx)dx＝-π2π2sinxdx＋[答案]C3．计算01x2dx＝________.[解析]由于13x3′＝x2，所以01x2dx＝13x3|10＝13.[答案]134.49x(1＋x)dx等于________．[解析]49x(1＋x)dx＝49(x＋x)dx＝23x32＋12x294＝23×932＋12×92－23×432＋12×42＝4516.[答案]45165．已知f(x)＝ax＋b，且-11f2(x)dx＝1，求f(a)的取值范围．[解]由f(x)＝ax＋b，-11f2(x)dx＝1，得2a2＋6b2＝3,2a2＝3－6b2≥0，所以－22≤b≤22，所以f(a)＝a2＋b＝－3b2＋b＋32＝－3b－162＋1912，所以－22≤f(a)≤1912.