2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ） 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性

第一课时余弦函数的图象与性质课时跟踪检测[A组基础过关]1．函数y＝2cosx－3的值域是()A．[－1,1]B.[－5，－1]C．[－5，＋∞)D.(－∞，＋∞)解析：由|cosx|≤1，得2cosx－3∈[－5，－1]，故选B.答案：B2．函数y＝cos2x的图象()A．关于直线x＝－π4对称B．关于直线x＝－π2对称C．关于直线x＝π8对称D．关于直线x＝5π4对称解析：由2x＝kπ，k∈Z，得x＝kπ2，k∈Z，∴当k＝－1时，x＝－π2是函数y＝cos2x的一条对称轴，故选B.答案：B3．设函数f(x)＝cosx＋π3，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝π6D．f(x)在π2，π单调递减解析：f(x)的周期为2kπ，当k＝－1时，T＝－2π，A正确；当x＝8π3时，f8π3＝cos3π＝－1，∴x＝8π3是f(x)的一条对称轴，B正确；f(x＋π)＝cosx＋π＋π3＝cosx＋4π3，当x＝π6时，cosπ6＋4π3＝cos3π2＝0，C正确；当x∈π2，π时，x＋π3∈5π6，4π3，∴f(x)在π2，π不单调，故选D.答案：D4．给出下列四个不等式，其中正确的是()①sin1＜cos1；②sin2＜cos2；③sin190°＞cos250°；④sincos3π8＜sinsin3π8.A．①和②B.①和③C．②和④D.③和④解析：∵π4＜1＜π2＜2＜π，利用三角函数线比较知①②错误．又∵sin190°＝－sin10°，cos250°＝－sin20°，∴sin190°＞cos250°，∴③正确．而cos3π8＝sinπ8，∴0＜cos3π8＜sin3π8＜1，而y＝sinx在(0,1)上递增，∴sincos3π8＜sinsin3π8.∴④正确，故选D.答案：D5．在(0,2π)内，使|sinx|≥cosx成立的x的取值范围是()A.π4，7π4B.π4，5π4C.0，5π4D.0，π4∪7π4，2π解析：在同一坐标系内作出y＝|sinx|与y＝cosx的图象，如图示：故选A.答案：A6．方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解有________个．解析：在同一坐标系中作出y＝3sinx与y＝1＋cos2x的图象，如图所示：从图象可知有两个交点，∴方程有两个解．答案：27．若函数y＝2cosπ3－ωx的最小正周期是4π，则ω＝________.解析：∵2π|－ω|＝4π，∴ω＝±12.答案：±128．已知函数f(x)＝2cos－2x＋π4，x∈R.(1)求函数f(x)的单调减区间；(2)求函数f(x)在区间－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．解：f(x)＝2cos－2x＋π4＝2cos2x－π4.(1)2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8，k∈Z.∴f(x)的单调减区间为kπ＋π8，kπ＋5π8，k∈Z.(2)∵－π8≤x≤π2，∴－π2≤2x－π4≤3π4，∴－22≤cos2x－π4≤1.∴－1≤f(x)≤2，当2x－π4＝3π4，即x＝π2时，f(x)min＝－1，当2x－π4＝0，即x＝π8时，f(x)max＝2.[B组技能提升]1．在同一坐标系中，函数y＝sinx与y＝cosx的图象不具有下述哪种性质()A．y＝sinx的图象向左平移π2个单位后，与y＝cosx的图象重合B．y＝sinx与y＝cosx的图象各自都是中心对称曲线C．y＝sinx与y＝cosx的图象关于直线x＝π4互相对称D．y＝sinx与y＝cosx在某个区间[x0，x0＋π]上都为增函数解析：y＝sinx与y＝cosx的图象如图示．由图可知y＝sinx与y＝cosx不存在在某个区间[x0，x0＋π]上都为增函数，故选D.答案：D2．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：由题意得3cos2×4π3＋φ＝3cos2π3＋φ＋2π＝3cos2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，φ＝kπ－π6(k∈Z)，取k＝0，得|φ|的最小值为π6，故选A.答案：A3．已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是________．解析：∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的周期相同，g(x)的周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin2x－π6，当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，56π，f(x)的取值范围是－32，3.答案：－32，34．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为________．解析：∵0≤x≤π，∴π6≤3x＋π6≤19π6，由题可知3x＋π6＝π2，3x＋π6＝3π2或3x＋π6＝5π2，解得x＝π9，4π9或7π9，故有3个零点．答案：35．已知函数f(x)＝2cos2x－π4，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈－π8，π2时，方程f(x)＝k恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．解：(1)f(x)＝2cos2x－π4，T＝2π2＝π，由2kπ－π≤2x－π4≤2kπ，k∈Z，∴kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，∴f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.(2)作出f(x)＝2cos2x－π4的图象，如图所示，若方程f(x)＝k恰有两个不同的实数根，则0≤k2.6．已知x∈0，π2，求函数y＝cos2x－2acosx的最大值M(a)和最小值m(a)．解：设cosx＝t，则t∈[0,1]，y＝t2－2at＝(t－a)2－a2.∴当a＜0时，m(a)＝0，M(a)＝1－2a；当0≤a＜12时，m(a)＝－a2，M(a)＝1－2a；当12≤a＜1时，m(a)＝－a2，M(a)＝0；当a≥1时，m(a)＝1－2a，M(a)＝0.∴M(a)＝1－2aa＜12，0a≥12，m(a)＝0a＜0，－a20≤a＜1，1－2aa≥1.