2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.2.1 排列(一)练习 新人教A版选修2-3

1.2.1排列(一)(建议用时：40分钟)对应题号考点基础训练能力提升1.简单的排列问题1,36,92.排列数公式2,4,5,7,103.排列的综合运用8,1112,13一、选择题1．5个人分4张不同的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同的分法有()A．54种B．45种C．5×4×3×2种D．5×4×3×24！种C解析依题意得，不同的分法即是从5个人中选出4人来分，因此相应的方法数为A45.故选C项．2．下列各式不正确的是()A．n！＝n＋1！n＋1B．Amn＝nAm－1n－1C．Amn＝n！n－m！D．Am－1n－1＝n－1！m－n！D解析n！＝1×2×3×…×n＝1×2×3×…×n＋1n＋1＝n＋1！n＋1，故A项正确；Amn＝n！n－m！＝n·n－1！[n－1－m－1]！＝n·Am－1n－1，故B项正确；Amn＝n！n－m！，故C项正确；Am－1n－1＝n－1！[n－1－m－1]！＝n－1！n－m！，故D项错误．3．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是()A．24B．48C．96D．108C解析2张参观券连号有4类，每类都有A44＝24种分法，所以共有24×4＝96种分法．4．若A5m＝2A3m，则m的值为()A．5B．3C．5或2D．7A解析由A5m＝2A3m得m(m－1)(m－2)(m－3)(m－4)＝2m(m－1)(m－2)，所以(m－3)(m－4)＝2，解得m＝5或m＝2，注意到m≥5，所以m＝5.故选A项．5．设m∈N*，且m15，则(15－m)(16－m)…(20－m)＝()A．A615－mB．A15－m20－mC．A620－mD．A520－mC解析由公式知(15－m)(16－m)…(20－m)＝(20－m)…(16－m)(15－m)＝A620－m.故选C项．6．2019年新年，某班举行联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为()A．42B．30C．20D．12A解析方法一有两种插法，一种是新节目相邻，有A22·6＝12种插法，一种是新节目不相邻，有A26＝30种插法，所以共有12＋30＝42种．方法二增加两个新节目，共有7个节目，先安排2个新节目，而原来的5个节目按原顺序放入余下的5个位置即可，共有A27＝42种方法．二、填空题7．已知A2n＝52A2n－2，则n＝________.解析由题意得n(n－1)＝52(n－2)(n－3)，解得n＝6或n＝53(舍去)．答案68．有3张标号分别为1,2,3的红色卡片，3张标号分别为1,2,3的蓝色卡片，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内(如图所示)．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为________(用数字作答).解析由题意可知，不同的放法共有A33A33A22＝6×6×2＝72种．答案729．从1,2,3,4,5,6这六个数中，每次取出两个不同的数记为a，b，则共可得到3ba的不同数值有________个．解析用1,2,3,4,5,6中取出的两个不同的数组成ba共有A26＝30个；其中12＝24＝36，13＝26，23＝46，21＝42＝63，31＝62，32＝64，共可得到30－2－1－1－2－1－1＝22个3ba的不同数值．答案22三、解答题10．证明：A11＋2A22＋3A33＋…＋nAnn＝(n＋1)！－1.证明因为nAnn＝n·n！＝(n＋1)！－n！，所以A11＋2A22＋3A33＋…＋nAnn＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1.11．在一块10垄并排的田地中，选2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？解析(图示法)如图所示，用并排一行的10个小矩形表示10垄田地，小矩形内加“○”表示选中，具体画出来有6种选取方法；对每种选取方式分别种植A，B两种作物，有A22种种植方法．故共有6A22＝12种种植方法．12．从集合{1,2,3，…，20}中任取3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列有多少个？解析设a，b，c∈{1,2,3，…，20}，且a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，即a＋c必为偶数，从而a，c同奇或同偶．又这20个数中有10个偶数，10个奇数，且这20个数中任意两个奇数或两个偶数的算术平均数都在这20个数中．所以选法可分两类：第一类，a，c为偶数，共有A210种；第二类，a，c为奇数，共有A210种．故共有2A210＝180个不同的等差数列．四、选做题13．用1,2,3,4,5排成一个数字不重复的五位数a1a2a3a4a5，满足a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的五位数有多少个？解析a2只能是3,4,5.①若a2＝3，则a4＝5，a5＝4，a1与a3是1或2，这时共有A22＝2个符合条件的五位数；②若a2＝4，则a4＝5，a1，a3，a5可以是1,2,3中的一个，共有A33＝6个符合条件的五位数；③若a2＝5，则a4＝3或4，此时分别与①②情况相同，故共有A22＋A33＝8个．综合①②③可知共有2＋6＋8＝16个五位数．