2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标核心素养3.理解和初步掌1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点)握赋值法及其应用．(重点)1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养．2.借助二项式系数的性质解题，提升数学运算的素养.1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Crn＋1＝Cr－1n＋Crn.2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n，…，Crn＝Cn－rn.(2)增减性与最大值：当k＜n＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数与相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数的和(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n；(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.1．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是()A．1B．－1C．215D．315B[令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1.]2．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是()A．第8项B．第7项C．第9项D．第10项C[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]3．在(a＋b)8的展开式中，二项式系数最大的项为________，在(a＋b)9的展开式中，二项式系数最大的项为________．70a4b4126a5b4与126a4b5[因为(a＋b)8的展开式中有9项，所以中间一项的二项式系数最大，该项为C48a4b4＝70a4b4.因为(a＋b)9的展开式中有10项，所以中间两项的二项式系数最大，这两项分别为C49a5b4＝126a5b4，C59a4b5＝126a4b5.]“杨辉三角”的应用【例1】如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．[思路点拨]由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.[解]S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝2＋10×92＋220＝274.解决与“杨辉三角”有关的问题的一般方法1．将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415……按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．n2－n＋62[前n－1行共有正整数[1＋2＋…＋(n－1)]个，即n2－n2个，因此第n行第3个数是全体正整数中第n2－n2＋3个，即为n2－n＋62.]求展开式的系数和【例2】设(1－2x)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018·x2018(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2018的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2017的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2018|的值．[思路点拨]先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．[解](1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2018＝(－1)2018＝1.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2017＋a2018＝32018.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2017)＝1－32018，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝1－320182.(3)∵Tr＋1＝Cr2018(－2x)r＝(－1)r·Cr2018·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2018|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2017＋a2018＝32018.在本例条件不变的情况下，求下列各式的值．(1)a2＋a4＋a6＋…＋a2018；(2)a1＋2a2＋3a3＋…＋2018a2018.[解](1)由a0＋a1＋a2＋…＋a2018＝1，a0－a1＋a2－…＋a2018＝32018，得2(a0＋a2＋…＋a2018)＝32018＋1，∴a0＋a2＋…＋a2018＝32018＋12，又令x＝0得a0＝1，∴a2＋a4＋a6＋…＋a2018＝32018－12.(2)∵(1－2x)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018x2018(x∈R)，∴两边分别求导得－4036(1－2x)2017＝a1＋2a2x＋…＋2018a2018x2017(x∈R)，令x＝1得，4036＝a1＋2a2＋…＋2018a2018.二项展开式中系数和的求法1．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.2．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.[解](1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，①令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.二项式系数性质的应用[探究问题]1．计算CknCk－1n，并说明二项式系数的单调性．[提示]CknCk－1n＝n－k＋1k.当kn＋12时，CknCk－1n1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当kn＋12时，二项式系数逐渐减小．2．如何求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项？[提示]求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r＋1项系数最大，应用Ar＋1≥Ar＋2，Ar＋1≥Ar解出r，即得系数的最大项．【例3】已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[思路点拨]求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．[解]令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3＝C25()3(3x2)2＝90x6，T4＝C35()2(3x2)3＝270.(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr53r·(5＋2r)．假设Tr＋1项系数最大，则有Cr53r≥Cr－15·3r－1，Cr53r≥Cr＋15·3r＋1，∴5！5－r！r！×3≥5！6－r！r－1！，5！5－r！r！≥5！4－r！r＋1！×3，∴3r≥16－r，15－r≥3r＋1.∴72≤r≤92，∵r∈N，∴r＝4.∴展开式中系数最大的项为T5＝C45(3x2)4＝405.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．3．(1＋2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[解]T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n25＝C6n·26⇒n＝8，∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48·(2x)4＝1120x4.设第r＋1项系数最大，则有Cr8·2r≥Cr－18·2r－1Cr8·2r≥Cr＋18·2r＋1⇒5≤r≤6.∵r∈{0,1,2，…，8}，∴r＝5或r＝6.∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.1．赋值法是求展开式系数和的常用方法，一般对字母赋的值为0,1或－1.2．释疑二项展开式中系数最大的项(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断．一般采用列不等式、解不等式的方法求解．(3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．()(2)二项展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋Cnn.()(3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．()[答案](1)√(2)×(3)×2．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于()A．11B．10C．9D．8D[第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，∴n＝8.]3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．5[(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.]4．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，求a0＋a1＋a2＋…＋a5的值．[解](a－x)5展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kCk5a5－kxk，令k＝2，得a2＝(－1)2C25a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.所以a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.