2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.1.2 余弦定理练习 新人教B版必修5

1.1.2余弦定理课时跟踪检测[A组基础过关]1．(2019·河北馆陶月考)在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝1，则最小角为()A.π12B.π6C.π4D.π3解析：由题可知角C最小，∴cosC＝b2＋a2－c22ba＝3＋4－12×2×3＝32，∵C∈(0，π)，∴C＝π6，故选B.答案：B2．在△ABC中，b2－a2－c2＝3ac，则∠B的大小为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由题可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝－3ac2ac＝－32.又0°B180°，∴B＝150°，故选D.答案：D3．下列结论：①若a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②若a2＝b2＋c2＋bc，则A为60°；③若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：∵a2＞b2＋c2，cosA＝b2＋c2－a22bc＜0，∴A为钝角，故①正确；由a2＝b2＋c2＋bc，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°，故②错误；∵a2＋b2＞c2，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＞0，∴C为锐角，但C为锐角时，△ABC不一定为锐角三角形，其形状还取决于角A和B，故③错误．故选B.答案：B4．(2018·湖南宁远期中)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，acosC＝c(2－cosA)，则cosB＝()A.154B．14C.34D.32解析：∵acosC＝c(2－cosA)，∴sinAcosC＝sinC(2－cosA)，∴sinAcosC＋sinCcosA＝2sinC，∴sin(A＋C)＝2sinC，∴sinB＝2sinC，∴b＝2c，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝14，故选B.答案：B5．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D是边BC的中点，且2AD→·BC→＝a2－ac，则B的大小为()A．45°B．60°C．90°D．120°解析：2AD→·BC→＝(AB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝AC→2－AB→2＝b2－c2，∴b2－c2＝a2－ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，∴B＝60°，故选B.答案：B6．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝60°，则a＝________.解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，知a2＝1＋9－2×1×3cos60°＝7，故a＝7.答案：77．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状是________．解析：由题设和正、余弦定理得2×a2＋c2－b22ac＝ca，化简得a2－b2＝0，即a＝b.答案：等腰三角形8．在△ABC中，a＝3，b＝26，B＝2A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．解：(1)由正弦定理，得asinA＝bsinB，即3sinA＝26sinB＝26sin2A，∴3sin2A＝26sinA，即6sinAcosA＝26sinA，∵sinA≠0，∴cosA＝63.(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即9＝24＋c2－2×26×63c，∴c2－8c＋15＝0，∴c＝3或c＝5.当c＝3时，A＝C＝45°，B＝90°，但不满足a2＋c2＝b2(舍去)，∴c＝5.[B组技能提升]1．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()A．23B．2C.2D．1解析：解法一：由正弦定理得1sinA＝3sinB＝3sin2A＝32sinAcosA，∴cosA＝32，A＝30°.结合余弦定理得12＝(3)2＋c2－2c×3×32，整理得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.当c＝1时，△ABC为等腰三角形，A＝C＝30°，B＝2A＝60°，不满足三角形内角和定理，∴c＝2.解法二：由正弦定理及B＝2A得1sinA＝32sinAcosA，∴cosA＝32，∴A＝30°，B＝60°，C＝90°，∴c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2.答案：B2．(2018·云南沾益质检)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝23，cosA＝32，且bc，则b＝()A.3B．2C．22D．1解析：由余弦定理得4＝b2＋12－2×23×b×32，∴b2－6b＋8＝0，∴b＝2或b＝4.∵bc，∴b＝2，故选B.答案：B3．在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝14，则c＝________；sinA＝________.解析：根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×14＝4，故c＝2，因为cosC＝14，所以sinC＝1－142＝154，由正弦定理，sinA＝asinCc＝1×1542＝158或：由a＝1，b＝2，c＝2，得cosA＝22＋22－122×2×2＝78，于是，sinA＝1－782＝158.答案：21584．(2018·河南长葛质检)如图，已知∠CAB＝45°，∠ACB＝15°，AC＝6，CD＝7，则BD＝________.解析：在△ABC中，∠CAB＝45°，∠ACB＝15°，∴∠CBA＝120°，由正弦定理，得BCsin45°＝ACsin120°，∴BC＝AC·sin45°sin120°＝2，在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD，∴7＝4＋BD2－2×2BD×12，∴BD2－2BD－3＝0，∴BD＝3或BD＝－1(舍去)．答案：35．(2017·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，a＝5，c＝6，sinB＝35.(1)求b和sinA的值；(2)求sin2A＋π4的值．解：(1)在△ABC中，因为ab，故由sinB＝35，可得cosB＝45.由已知及余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB＝13，所以b＝13.由正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝asinBb＝31313.所以b的值为13，sinA的值为31313.(2)由(1)及ac，得cosA＝21313，所以sin2A＝2sinAcosA＝1213，cos2A＝1－2sin2A＝－513.故sin2A＋π4＝sin2Acosπ4＋cos2Asinπ4＝7226.6．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求a的值．解：(1)解法一：∵cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab，∴原式化为a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c，整理得a2＋c2－b2＋ac＝0，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.又0＜B＜π，∴B＝2π3.解法二：由正弦定理及已知得cosBcosC＝－sinB2sinA＋sinC，∴2sinAcosB＋cosBsinC＋sinBcosC＝0，∴2sinAcosB＋sinA＝0，又sinA≠0，∴cosB＝－12.又0Bπ，∴B＝2π3.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝2π3，代入b2＝a2＋c2－2accosB得，13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos2π3，即a2－4a＋3＝0.解得a＝1或a＝3.