2019-2020学年高中数学 第1章 空间几何体章末复习课学案 新人教A版必修2

第1章空间几何体空间几何体的结构特征【例1】(1)设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4(2)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有()A．1个B．2个C．3个D．4个(1)A(2)D[(1)①若侧棱不垂直于底面，则底面是矩形的平行六面体不是长方体，错误；②若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，错误；③若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体，错误；④若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，正确．(2)如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，取四棱锥A1­ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．]与空间几何体结构特征有关问题的解答技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．1．棱台上、下底面面积分别为16，81，有一平行于底面的截面，其面积为36，则截面截得两棱台高的比为()A．1∶1B．1∶2C．2∶3D．3∶4C[将棱台还原为棱锥，设顶端小棱锥的高为h，两棱台的高分别为x1，x2，则hh＋x12＝1636，解得x1＝h2，hh＋x1＋x22＝1681，解得x2＝34h.故x1x2＝23.]空间几何体的表面积与体积【例2】如图所示的三棱锥O­ABC为长方体的一角．其中OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5cm2，1cm2，3cm2，求三棱锥O­ABC的体积．[解]设OA，OB，OC的长依次为xcm，ycm，zcm，则由已知可得12xy＝1.5，12xz＝1，12yz＝3.解得x＝1，y＝3，z＝2.将三棱锥O­ABC看成以C为顶点，以OAB为底面．易知OC为三棱锥C­OAB的高．于是VO­ABC＝VC­OAB＝13S△OAB·OC＝13×1.5×2＝1(cm3)．空间几何体的表面积与体积的求法：(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．2．如图①所示，已知三棱柱ABC­A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC­A′B′C′的体积．①②[解]连接A′B，A′C，如图②所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．设所求体积为V，显然三棱锥A′­ABC的体积是13V.而四棱锥A′­BCC′B′的体积为13Sa，故有13V＋13Sa＝V，即V＝12Sa.与球有关的切、接问题【例3】(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为()A．443πB．4849πC．814πD．16π(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是()A．963B．163C．243D．483(1)B(2)D[(1)如图，设PE为正四棱锥P­ABCD的高，则正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF.由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，又底面边长为4,所以AE＝22，PE＝6,所以侧棱长PA＝PE2＋AE2＝62＋（22）2＝44＝211.设球的半径为R,则PF＝2R.由三角形相似得PA2＝PF·PE，即44＝2R×6，解得R＝113，所以S＝4πR2＝4π×1132＝484π9，故选B.(2)由球的体积公式可求得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长，为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有a2×33＝R＝2，解得a＝43.故此三棱柱的体积V＝12×32×(43)2×4＝483.]与球相关问题的解题策略：(1)作适当的截面(如轴截面等)时，对于球内接长方体、正方体，则截面一要过球心，二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题．(2)对于“内切”和“外接”等问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间的关系，然后把相关的元素放到这些关系中来解决．3．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为________．4πRr[法一：如图，作DE⊥BC于点E.设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r21＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝Rr，故球的表面积为S球＝4πr21＝4πRr.法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r21＝Rr，故r1＝Rr，故球的表面积为S球＝4πRr.]