2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 6 余弦函数的图像与性质练习 北师大版必修4

1§6余弦函数的图像与性质课后拔高提能练一、选择题1．已知函数f(x)＝sin2x＋3π2(x∈R)，下面结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)是偶函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称D．函数f(x)在区间0，π2上是增函数解析：选Cf(x)＝sin2x＋3π2＝－cos2x，易知A，B，D正确；∵fπ4＝－cos2×π4＝－cosπ2＝0，∴f(x)的图像关于点π4，0对称，故C错．2．(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6的最大值为()A．65B．1C．35D．15解析：选A∵x＋π3－x－π6＝π2，∴cosx－π6＝sinx＋π3，∴f(x)＝65sinx＋π3，∴最大值为65.3．函数y＝－xcosx的图像大致是图中的()解析：选D令f(x)＝－xcosx，则f(－x)＝xcos(－x)＝xcosx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，其图像关于原点对称．又当x∈0，π2时，f(x)0，故选D．4．在(0,2π)内，使sinx|cosx|成立的x的取值范围是()A．π4，3π4B．π4，π2∪5π4，3π22C．π4，π2D．5π4，7π4解析：选A∵sinx|cosx|，∴sinx0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sinx，x∈(0，π)与y＝|cosx|，x∈(0，π)的图像，观察图像易得x∈π4，34π，故选A．二、填空题5．若方程2cosx＋1＝3m有解，则实数m的取值范围是________．解析：由2cosx＋1＝3m，得cosx＝3m－12，由－1≤3m－12≤1，得－13≤m≤1.答案：－13，16．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cosωx－π6(ω0)，若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．解析：因为f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，所以fπ4取最大值，所以π4ω－π6＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋23(k∈Z)，因为ω0，所以当k＝0时，ω取最小值为23.答案：237．函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围为________．解析：∵y＝cosx在[－π，0]上为增函数，∴－πa≤0.答案：(－π，0]三、解答题8．已知函数f(x)＝2cosx－π4.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求当x∈[0，π]时，f(x)的值域．3解：(1)由2kπ≤x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)，由2kπ－π≤x－π4≤2kπ(k∈Z)，得2kπ－3π4≤x≤2kπ＋π4(k∈Z)．∴函数f(x)的单调增区间为2kπ－3π4，2kπ＋π4(k∈Z)，单调减区间为2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)．(2)∵x∈[0，π]，∴－π4≤x－π4≤3π4，∴－22≤cosx－π4≤1.即－2≤2cosx－π4≤2，∴函数f(x)的值域为[－2，2]．9．函数f(x)是定义在[－2π，2π]上的偶函数，当x∈[0，π]时，f(x)＝cosx；当x∈(π，2π]时，f(x)的图像是斜率为2π，在y轴上截距为－2的直线在相应区间上的部分．(1)求f(－2π)，f－π3的值；(2)求f(x)的解析式，并作出图像，写出其单调区间．解：(1)当x∈(π，2π]时，f(x)＝2πx－2.又f(x)是偶函数，∴f(－2π)＝f(2π)＝2.又当x∈[0，π]时，f(x)＝cosx，∴f－π3＝fπ3＝cosπ3＝12.(2)由(1)知f(x)＝－2πx－2，x∈[－2π，－π，cosx，x∈[－π，π]，2πx－2，x∈π，2π].图像如图所示，单调增区间为[－π，0]，(π，2π]，单调减区间为[－2π，－π)，[0，π]．4