2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 7 7.3 正切函数的诱导公式学案 北师大版必修4

-1-EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.7.3正切函数的诱导公式学习目标核心素养1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式π2±α，π±α.2．掌握正切函数的诱导公式.1.通过推导诱导公式π2±α，π±α体会逻辑推理素养．2．通过运用正切函数的诱导公式解决问题，提升数学运算素养.正切函数的诱导公式角x函数y＝tanx记忆口诀kπ＋α(k∈Z)tanα函数名不变，符号看象限－α－tanαπ－α－tanαπ＋αtanαπ2＋α－cotα函数名改变，符号看象限π2－αcotα思考：前面我们学习过π±α，－α，π2±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀．对正切函数能适用吗？[提示]因为tanα＝sinαcosαα≠kπ＋π2，所以口诀对正切函数依然适用．1．公式tan(π－α)＝－tanα成立的条件是()A．α为锐角B．α为不等于π2的任意角C．α为任意角D．α≠kπ＋π2(k∈Z)D[由正切函数的定义可知α≠kπ＋π2(k∈Z)．]-2-2．下列诱导公式中错误的是()A．tan(π－α)＝－tanαB．cosπ2＋α＝sinαC．sin(π＋α)＝－sinαD．cos(π－α)＝－cosα[答案]B3．tan3π2＋α等于()A．－cotαB．cotαC．tanαD．－tanα[答案]A4．tan5π6的值为()A．3B．－3C．33D．－33D[tan5π6＝tanπ－π6＝－tanπ6＝－33.]三角函数间关系的应用【例1】已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，y)，且tanα＝－43.(1)求sinα＋cosα的值；(2)求sinπ－α＋2cosπ＋αsin3π2－α－cos3π2＋α的值．[解](1)因为tanα＝y3＝－43，所以y＝－4，则r＝5.∴sinα＝－45，cosα＝35，则sinα＋cosα＝－15.(2)原式＝sinα－2cosα－cosα－sinα＝tanα－2－1－tanα＝－43－2－1＋43＝－10313＝－10.-3-三角函数之间关系的应用利用三个三角函数之间的关系：tanα＝sinαcosα进行弦切互化；正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切.1．已知α为第二象限角，且tanα－1tanα＝154，求sinπ2＋α－sinπ＋αsinπ2－α－sinπ－α的值．[解]由tanα－1tanα＝154，得4tan2α－15tanα－4＝0，得tanα＝－14或tanα＝4.又α为第二象限的角，所以tanα＝－14.故sinπ2＋α－sinπ＋αsinπ2－α－sinπ－α＝cosα＋sinαcosα－sinα＝1＋tanα1－tanα＝35.利用诱导公式求值【例2】求下列各式的值：(1)tan－26π3；(2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)．[思路探究]利用诱导公式化为锐角三角函数，再求值．[解](1)tan－26π3＝－tan26π3＝－tan8π＋2π3＝－tan2π3＝tanπ3＝3.(2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin1866°－sin(－606°)＝tan10°－tan10°＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝sin66°－sin66°＝0.-4-利用诱导公式求值一般为：把负角三角函数化为正角三角函数，再化为0～2π间的三角函数，最后转化为锐角三角函数求值.2．求下列三角函数的值：(1)tan150°；(2)tan－19π6.[解](1)tan150°＝tan()180°－30°＝－tan30°＝－33.(2)tan－19π6＝－tan19π6＝－tan3π＋π6＝－tanπ＋π6＝－tanπ6＝－33.利用诱导公式化简与证明[探究问题]1．与正切函数有关的式子求值时应注意什么问题？[提示]求含有正切函数关系式的某个函数的定义域时，要注意正切函数值存在的条件．求值域时，不要忽视这个函数的定义域．2．利用正切函数的诱导公式解决给角求值的解题流程是怎样的？[提示]【例3】(1)化简：sinπ＋α·cosπ－α·tan－3π2－αtanπ2＋α·cos3π2＋α；(2)求值：tan7π4－tan2π31＋tan－4π3·tan－π4.[思路探究]解答本题可依据先用周期性或关于－α的诱导公式，把角绝对值“化小”，再利用恰当的公式化简．-5-[解](1)原式＝－sinα·－cosα·tanπ2－α－cotα·sinα＝sinαcosα·cotα－cotα·sinα＝－cosα.(2)原式＝tan2π－π4－tanπ－π31＋tanπ＋π3tanπ4＝－tanπ4＋tanπ31＋tanπ3＝3－13＋1＝2－3.1．将例3(1)变为“已知tan(3π－α)＝15，求sinπ＋α·tanπ－α·tan－32π－αtanπ2＋α·cos32π＋α的值”．[解]因为tan(3π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝15，所以tanα＝－15.原式＝－sinα－tanα·sin－32π－αcos－32π－αsinπ2＋αcosπ2＋α·sinα＝－sinα·－tanα－－cosαsinαcosα－sinα·sinα＝－tanα＝15.2．将例3(2)变为“若a＝cosα＋πsin23π＋αtan4π＋αtanπ＋αcos3－α－π”，试求a2＋a＋1的值．[解]a＝cosα＋πsin23π＋αtan4π＋αtanπ＋αcos3－α－π＝－cosαsin2αtanα·tanα－cos3α＝－cosα·sin2αsinαcosα·sinαcosα·－cos3α-6-＝－cos3αsin2αsin2α－cos3α＝1，∴a2＋a＋1＝1＋1＋1＝3.1．三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．2．三角恒等式的证明策略：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．定义法，化弦法，拆项折角法，公式变形法．1．正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k·π2±α中，如果k为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k·π2±α所在的象限．2．在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则．特别提醒：应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)tan3π2－α＝cotα.()(2)对任意α∈R，都有tan(－α)＝－tanα.()(3)tan(kπ－α)＝－tanα.()[答案](1)√(2)×(3)√2．tan300°＋sin450°的值为()A．1＋3B．1－3C．－1－3D．－1＋3B[tan300°＋sin450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝－tan60°＋sin90°＝1－3.]3．若cotα＝m，则tan3π2－α＝()-7-A．mB．－mC．1mD．－1mA[tan3π2－α＝tanπ＋π2－α＝tanπ2－α＝cotα＝m.]4．已知角α的终边经过点P(4，－3)．(1)求sinα，cosα，tanα的值；(2)求sinπ2－αsinπ＋α·tanπ－αcosα＋π的值．[解](1)因为r＝42＋－32＝5，所以sinα＝yr＝－35，cosα＝xr＝45，tanα＝yx＝－34.(2)sinπ2－αsinπ＋α·tanπ－αcosα＋π＝cosα－sinα·－tanα－cosα＝－tanαsinα＝－－34－35＝－54.