高中数学-1.1.1-1.1.2-导数及其应用课件-新人教A版-选修2-2

第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念自主学习新知突破1．了解实际问题中平均变化率的意义．2．理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念．3．理解并掌握导数的概念．4．掌握求函数在一点处的导数的方法．现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：[问题1]“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？(形与数两方面)[提示1]曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度．[问题2]由点B上升到点C，必须考察yC－yB的大小，但仅仅注意yC－yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？[提示2]在考察yC－yB的同时必须考察xC－xB，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变．我们用比值yC－yBxC－xB近似地量化B，C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为[32,34]上的平均变化率．函数的变化率定义实例作用平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为__________①平均速度；②曲线割线的斜率刻画函数值在区间_______上变化的快慢瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝________________①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率刻画函数值在____处附近变化的快慢fx2－fx1x2－x1[x1，x2]limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δxx01．关于函数的平均变化率，应注意以下几点(1)函数f(x)在x1处有定义．(2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．(4)在公式ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx中，当x1取定值，Δx取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当Δx取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔyΔx＝0.函数y＝f(x)在x＝x0处的_______变化率称为函数y＝f(x)在__________处的导数，记作__________或__________，导数的概念瞬时x＝x0f′(x0)y′|x＝x0即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝_________________________.limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx2．对函数在某点处导数的认识(1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量．(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．(3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44解析：Δy＝f(2.1)－f(2)＝0.41.答案：B2．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()A．6B．18C．54D．81答案：B解析：ΔsΔt＝33＋Δt2－3×32Δt＝18＋3Δt，s′＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(18＋3Δt)＝18，故选B.3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2.其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度为________．答案：5米/秒解析：v＝limΔt→01－3＋Δt＋3＋Δt2－1－3＋32Δt＝limΔt→0(Δt＋5)＝5.4．求函数y＝x－1x在x＝1处的导数．解析：Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－1－11＝Δx＋Δx1＋Δx，ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01＋11＋Δx＝2，从而y′|x＝1＝2.合作探究课堂互动求函数的平均变化率求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[思路点拨]先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式计算．函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为fx0＋Δx－fx0x0＋Δx－x0＝[3x0＋Δx2＋2]－3x20＋2Δx＝6x0·Δx＋3Δx2Δx＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.求平均变化率的步骤：通常用“两步”法，一作差，二作商，即：①先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)；②对所求得的差作商，即得ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx.1．已知函数f(x)＝x＋1x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．解析：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f2－f12－1＝2＋12－1＋11＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f5－f35－3＝5＋15－3＋132＝1415.因为121415，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．求物体的瞬时速度已知函数f(x)＝2x2＋1.(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率；(3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率．[思路点拨]函数fx＝2x2＋1→函数值的改变量Δy＝fx0＋Δx－fx0→函数的平均变化率ΔyΔx→Δx趋于0→ΔyΔx趋于常数解析：(1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)，∴ΔyΔx＝2Δx2x0＋ΔxΔx＝4x0＋2Δx.(2)由(1)可知：ΔyΔx＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，ΔyΔx＝4×2＋2×0.01＝8.02.(3)在x＝2处取自变量的增量Δx，得一区间[2,2＋Δx]．∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx.∴ΔyΔx＝2Δx＋8，当Δx→0时，ΔyΔx→8.1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率的变化情况估计出瞬时变化率．2．求函数y＝f(x)在x＝x0处瞬时变化率的步骤：(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求函数的平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)当Δx趋近于0时，求ΔyΔx趋近的常数．2．已知自由下落物体的运动方程是s＝12gt2(s的单位是m，t的单位是s)，求：(1)物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；(2)物体在t0时的瞬时速度；(3)物体在t0＝2s到t1＝2.1s这段时间内的平均速度；(4)物体在t＝2s时的瞬时速度．解析：(1)平均速度为ΔsΔt＝12gt0＋Δt2－12gt20Δt＝gt0＋12gΔt.(2)瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0gt0＋12gΔt＝gt0.(3)由(1)得物体在t0＝2s到t1＝2.1s这段时间内的平均速度为g×2＋12g×0.1＝4120g.(4)由(2)得物体在t＝2s时的瞬时速度为g×2＝2g.求函数f(x)在某点处的导数已知f(x)＝x2＋3.(1)求f(x)在x＝1处的导数；(2)求f(x)在x＝a处的导数．[思路点拨]确定函数的增量定义法,ΔyΔx――→Δx→0极限―→导数(1)因为ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx＝1＋Δx2＋3－12＋3Δx＝2＋Δx，2分f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.6分(2)因为ΔyΔx＝fa＋Δx－faΔx＝a＋Δx2＋3－a2＋3Δx＝2a＋Δx，8分f′(a)＝limΔx→0fa＋Δx－faΔx＝limΔx→0(2a＋Δx)＝2a.12分利用导数定义求导数的三步曲：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.简记为：一差，二比，三趋近．特别提醒：取极限前，要注意化简ΔyΔx，保证使Δx→0时，分母不为0.3．已知函数y＝2x2＋4x.(1)求函数在x＝3处的导数；(2)若函数在x0处的导数是12，求x0的值．解析：(1)Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝2Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.∴y′|x＝3＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16.(2)根据导数的定义f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→02x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0Δx＝limΔx→04x0·Δx＋2Δx2＋4ΔxΔx＝limΔx→0(4x0＋2Δx＋4)＝4x0＋4，∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得x0＝2.◎设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且limΔx→0fx0－3Δx－fx0Δx＝1，则f′(x0)等于()A．1B．－1C．－13D．13【错解】limΔx→0fx0－3Δx－fx0Δx＝limΔx→0[fx0－3Δx－fx03Δx·3]＝3f′(x0)＝1，所以f′(x0)＝13，故选D.【错因】错解虽然注意到了系数关系，但却忽略了分子Δy与分母Δx的对应关系．在导数的定义f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx中，Δx是分子f(x0＋Δx)与f(x0)中的两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0.初学者在求解此类问题时容易忽略分子与分母相应的符号或Δx系数的一致性．【正解】因为limΔx→0fx0－3Δx－fx0Δx＝－limΔx→0[fx0－fx0－3Δx3Δx·3]＝－3f′(x0)＝1，所以f′(x0)＝－13，故选C.答案：C谢谢观看！