二项式定理

1二项式定理：一、框架二项式定理是高中数学中与排列组合、多项式的概念性质联系比较紧密的内容，高考在这一部分命题主要以选择、填空题的形式考查二项展开式的项、系数及其相关问题。复习时先要正确的理解二项式定理、二项展开式的项、系数等概念和性质，牢牢掌握二项展开式的通项公式是解答有关问题的关键，同时注意把握二项式与定积分及其它知识的联系。其中非标准二项式定理求解特殊项的问题，是难点问题。1．二项式定理：公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)叫做二项式定理．2．通项:Tk＋1＝Cknan－kbk为展开式的第k＋1项．提醒：(1)Tk＋1表示的是第k＋1项，而非第k项．(2)要正确区分二项展开式中的“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念的异同．3.求二项展开式中的项的方法:求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Cknan－kbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程;特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．4．二项式系数与项的系数(1)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ckn(k∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．(2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．5．二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cmn＝Cn－mn.(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当kn＋12时，二项式系数逐渐增大；当kn＋12时，二项式系数逐渐减小．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大．(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n.(4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…＝2n－1.6．在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力．归纳起来常见的命题角度有：(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；(3)三项展开式中的特定项(系数)问题.7．赋值法研究二项式的系数和问题：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．2二、方法诠释第一方面：二项式的项、二项式的项的系数、二项式的系数例1：在x－2x6的二项展开式中常数项是()A．－120B．－60C．120D．60解：选D二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6(x)6－r·－2xr＝Cr6(－2)rx3－32r，令3－32r＝0，得r＝2，所以常数项为C26(－2)2＝60.第二方面：对称性、增减性、最值与二项式系数例2：已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则n＝________.解：容易得到n＝10.第三方面：几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题例3：x3－2x4＋x＋1x8的展开式中的常数项为()A．32B．34C．36D．38解：选Dx3－2x4的展开式的通项为Tm＋1＝Cm4(x3)4－m·－2xm＝Cm4(－2)mx12－4m，令12－4m＝0，解得m＝3，x＋1x8的展开式的通项为Tn＋1＝Cn8x8－n1xn＝Cn8x8－2n，令8－2n＝0，解得n＝4，所以所求常数项为C34(－2)3＋C48＝38.问题四：几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题例4：2x＋x(1－x)4的展开式中x的系数是________．解：(1－x)4展开式的通项公式Tr＋1＝Cr4(－x)r＝(－1)rCr4xr2，2x＋x(1－x)4的展开式中含x的项为2x·(－1)4C44x2＋x·(－1)0C04x02＝2x·x2＋x·1＝3x，故系数是3.答案：3问题五：三项展开式中特定项(系数)问题例5：(x2－4x＋4)5的展开式中x的系数是________．解：由(x2－4x＋4)5＝(x－2)10，得二项展开式的通项为Tr＋1＝Cr10x10－r(－2)r，所以x的系数为(－2)9C910＝－5120.答案：－5120问题六：赋值法例6.1:若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为()A．1或－3B．－1或3C．1D．－3解：选A令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得a0－a1＋a2－…－a9＝m9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，即(a0＋a1＋a2＋…＋a9)·(a0－a1＋a2－…－a9)＝39，即(2＋m)9·m9＝39，所以(2＋m)m＝3，解得m＝1或－3.例6.2：化简:121393nnnnnCCC．3解：小结：二项式定理是一个恒等式，使用时有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法，一般对任意Ax，某式子恒成立，则对A中的特殊值，该式子一定成立，特a殊值x如何选取视具体情况决定，灵活性较强，一般取1,1,0x居多.若2012()...,nnnaxbaaxaxax则设()()nfxaxb.有：①0(0);af②012...(1);naaaaf③0123...(1)(1);nnaaaaaf④0246(1)(1)...;2ffaaaa⑤1357(1)(1)....2ffaaaa7.二项式与定积分的综合：在考查二项式定理时常常会把定积分和二项式结合在一起，把定积分作为二项式的一项、二项式的值或二项式的指数是常考模式，注意定积分的概念和计算是关键.例7：设20(sin12cos)2xaxdx，则621()(2)axxx的展开式中常数项是.解：三、巩固训练41.12x－2y5的展开式中x2y3的系数是()A．－20B．－5C．5D．202.(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)3.若x＋2x2n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是()A．360B．180C．90D．454.若x2－1xn的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．5.设n为正整数，x－1xx2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为()A．16B．10C．4D．26.若二项式x＋23xn的展开式中的常数项是80，则该展开式中的二项式系数之和等于________．7.ax＋366的展开式的第二项的系数为－3，则∫a－2x2dx的值为()A．3B.73C．3或73D．3或－1038.2x＋13xn的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2项的系数为________．9.二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)各项系数绝对值之和．510．已知在3x－123xn的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．6二项式定理：1、解析：选A由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C3512x2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20，选A.2、解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr10x10－rar，当10－r＝7时，r＝3，T4＝C310a3x7，则C310a3＝15，故a＝12.答案：123、解析：选B展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n＝10，通项公式为Tr＋1＝Cr10(x)10－r·2x2r＝Cr102rx5－52r，所以r＝2时，常数项为180.4、解析：展开式x2－1xn的通项为Tr＋1＝Crn(x2)n－r·－1xr＝Crn(－1)rx2n－3r，因为含x的项为第6项，所以r＝5,2n－3r＝1，解得n＝8，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(1－3)8＝28，又a0＝1，所以a1＋…＋a8＝28－1＝255.答案：2555、解析：选Bx－1xx2n展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck2nx2n－k－1xxk＝Ck2n(－1)kx4n－5k2，令4n－5k2＝0，得k＝4n5，∴n可取10.6、解析：对于Tr＋1＝Crn(x)n－r23xr＝Crn2rxn－r2－r3，当r＝35n时展开式为常数项，因此n为5的倍数，不妨设n＝5m，则有r＝3m，则23mC3m5m＝8mC3m5m＝80，因此m＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n＝25＝32.答案：327、解析：选B该二项展开式的第二项的系数为C1636a5，由C1636a5＝－3，解得a＝－1，因此∫a－2x2dx＝∫－1－2x2dx＝x33|－1－2＝－13＋83＝73.8、解析：依题意得3n＝729，n＝6，二项式2x＋13x6的展开式的通项是Tr＋1＝Cr6·(2x)6－r·13xr＝Cr6·26－r·x6－4r3.令6－4r3＝2，得r＝3.因此，在该二项式的展开式中x2项的系数是C36·26－3＝160.答案：1609、解:设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1①，令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59②，①＋②2得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和．(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9，令x＝1，y＝－1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝59，此即为各项系数绝对值之和．10、解：(1)通项公式为Tk＋1＝Cknxn－k3－12kx－k3＝Ckn－12kxn－2k3.7因为第6项为常数项，所以k＝5时，n－2×53＝0，即n＝10.(2)令10－2k3＝2，得k＝2，故含x2的项的系数是C210－122＝454.(3)根据通项公式，由题意10－2k3∈Z，0≤k≤10，k∈N，令10－2k3＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－32r，∵k∈N，∴r应为偶数，∴r可取2,0，－2，即k可取2,5,8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C210－122x2，C510－125，C810－128x－2.