八年级上数学课件第一章勾股定理B素养拓展区北师大版

分层练透教材，多重拓展培优第一章·勾股定理数学·八年级上册·北师课时学习区专项素养拓训专题勾股定理的应用专项1.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D,E分别在AC,BC上,且DE∥AB.将△ABC沿DE折叠,使C点落在斜边AB上的F点处,则AF的长是()A.3.6B.4C.4.8D.6.4答案1.A【解析】如图,连接CF,根据题意,得CF⊥DE.因为DE∥AB,所以CF⊥AB.因为∠C=90°,AC=6,BC=8,所以AB=10,所以S△ABC=12AC·BC=12AB·CF,所以CF=4.8,所以AF2=AC2-CF2=62-4.82=3.62,所以AF=3.6.故选A.类型1利用勾股定理解折叠问题2.如图,长方形ABCD中,AB=6,BC=8,把长方形ABCD沿直线AE折叠,使点B落在长方形ABCD内部的点F处,则CF的最小值是()A.2B.4C.6D.8答案2.B【解析】连接AC.由题意,得AF=AB=6.在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=102,所以AC=10.当A,F,C三点不共线时,CFAC-AF,当A,F,C三点共线时,CF=AC-AF=10-6=4,所以CF的最小值是4.故选B.类型1利用勾股定理解折叠问题3.如图,在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE的面积为cm2.答案3.6【解析】由题意可知BE=ED.设AE=xcm,因为AD=AE+DE=AE+BE=9cm,所以BE=(9-x)cm.在Rt△ABE中,根据勾股定理可知,AB2+AE2=BE2,所以32+x2=(9-x)2,解得x=4,即AE=4cm,所以△ABE的面积为12×AB×AE=12×3×4=6(cm2).类型1利用勾股定理解折叠问题4.如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点.将△ADE沿AE折叠,得△AFE,延长EF交BC于点G,连接AG,AG平分∠BAF.(1)试说明△ABG≌△AFG;(2)求BG的长.答案4.【解析】(1)在正方形ABCD中,AD=AB=BC=CD=6.由折叠的性质,可知AD=AF,所以AB=AF,因为AG平分∠BAF,所以∠BAG=∠FAG.在△ABG和△AFG中,𝐴𝐵=𝐴𝐹,∠𝐵𝐴𝐺=∠𝐹𝐴𝐺,𝐴𝐺=𝐴𝐺,所以△ABG≌△AFG.(2)因为△ABG≌△AFG,所以BG=FG.设BG=FG=x,则GC=6-x.因为E为CD的中点,所以CE=EF=DE=12CD=3,所以EG=3+x,在Rt△CEG中,由勾股定理,得CE2+CG2=EG2,即32+(6-x)2=(3+x)2,解得x=2,所以BG=2.5.[2019陕西西安交大附中期中]我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是尺.答案5.25【解析】如图,AB的长即问题中葛藤的最短长度.一条直角边长(即圆柱的高)为20尺,另一条直角边长为5×3=15(尺),因此AB2=152+202=252,所以AB=25尺,所以问题中葛藤的最短长度是25尺.类型2利用勾股定理求最短路径6.如图,ABCD是长方形土地,AB=10m,AD=5m,中间竖有一堵高1m的砖墙(MN=1m).一只蚂蚁从点A爬到点C,它必须翻过中间那堵墙,则它至少要爬m.答案6.13【解析】如图,将题图展开,A'B'=10+2MN=10+2=12(m),连接A'C',则A'C'即蚂蚁爬行的最短路程.易知四边形A'B'C'D'是长方形,在Rt△A'B'C'中,A'B'=12m,B'C'=5m,所以A'C'2=A'B'2+B'C'2=122+52=132,所以A'C'=13m,所以蚂蚁从A点爬到C点,至少要爬13m.类型2利用勾股定理求最短路径过专项·中考常考题型专练7.如图,点E是正方形ABCD内一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,求∠BE'C的度数.答案7.【解析】如图,连接EE'.由题意,知△ABE≌△CBE',所以E'C=AE=1,BE'=BE=2,∠ABE=∠CBE'.因为∠ABE+∠EBC=90°,所以∠CBE'+∠EBC=90°,即∠EBE'=90°.在Rt△EBE'中,由勾股定理,得EE'2=BE2+BE'2=22+22=8.在△EE'C中,EE'2=8,E'C=1,EC=3,则有EE'2+E'C2=8+1=9=EC2,所以△EE'C为直角三角形,∠EE'C=90°.因为BE=BE',所以∠BEE'=∠BE'E=180°−90°2=45°,所以∠BE'C=∠BE'E+∠EE'C=45°+90°=135°.类型3利用勾股定理和旋转的性质解几何问题综合素养拓训素养解读数学素养的形成离不开数学方法与思想的潜移默化.勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具.在对勾股定理的研究中会逐渐体会到数形结合思想、方程思想,同时在用面积法验证勾股定理时会用到转化思想.第1题体现了转化思想,利用勾股定理将正方形的面积问题转化到直角三角形中解决;第2题通过用类比面积法来验证等式的方式,创设数学活动,体验图形组合、变换的过程;第3题以最短路径问题为背景,通过探究、对比,说明利用表面展开图得到的不一定是最短路径,对阅读理解能力、知识迁移能力及分析并解决问题的能力有一定的要求.1.[利用转化思想求面积]在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=.答案1.4【解析】如图,容易证明Rt△ACB≌Rt△BDE,所以BC=ED,所以AC2+ED2=AC2+BC2=AB2,所以S1+S2=1.同理可得S3+S4=3.所以S1+S2+S3+S4=1+3=4.2.[勾股定理与图形组合]我们运用图1中大正方形的面积可表示为(a+b)2,也可表示为c2+4×12ab,即(a+b)2=c2+4×12ab,推导出一个重要的结论a2+b2=c2,这个重要的结论就是著名的“勾股定理”.这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称“无字证明”.请你用图2提供的图形(每种图形数量不限)进行组合,画出组合图形,用组合图形的面积表达式验证:(x+2y)2=x2+4xy+4y2.答案2.【解析】画出组合图形如图所示.大正方形的面积为x2+4y2+4xy,也可以表示为(x+2y)2,所以(x+2y)2=x2+4xy+4y2.图1图23.[探究最短路径]先阅读下面的材料,再解决问题.【实际问题】如图1,一圆柱的底面半径为5cm,BC是底面直径,高AB为5cm,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线,小明设计了两条路线.【解决方案】路线1:侧面展开图中的线段AC,如图2所示.设路线1的长度为l1,则𝑙12=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2.路线2:高线AB+底面直径BC.设路线2的长度为l2,则𝑙22=(AB+BC)2=(5+10)2=225.为比较l1,l2的大小,采用“作差法”:因为𝑙12-𝑙22=25(π2-8)0,所以𝑙12𝑙22,所以l1l2,所以小明认为路线2较短.(1)【问题类比】小亮对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成“圆柱的底面半径为1cm,高AB为5cm”.请你用上述方法帮小亮比较出l1与l2的大小.(2)【问题拓展】请你帮他们继续研究:在一般情况下,若圆柱的底面半径为rcm,高为hcm,蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C,当𝑟ℎ满足什么条件时,路线2较短?请说明理由.(3)【问题解决】图3是紧密排列在一起的2个相同的圆柱,高为5cm.当蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时,求圆柱的底面半径r.图1图2图3答案3.【解析】(1)如题图2.因为圆柱的底面半径为1cm,高AB为5cm,所以路线1:𝑙12=AC2=AB2+BC2=25+π2;路线2:l2=AB+BC=5+2=7,则𝑙22=49.因为𝑙12-𝑙22=25+π2-49=π2-240,所以𝑙12𝑙22,所以l1l2,所以路线1较短.A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等.(2)如题图2.因为圆柱的底面半径为rcm,高为hcm,所以路线1:𝑙12=AC2=AB2+BC2=h2+(πr)2,路线2:𝑙22=(AB+BC)2=(h+2r)2,所以𝑙12-𝑙22=h2+(πr)2-(h+2r)2=r(π2r-4r-4h)=r[(π2-4)r-4h].因为r恒大于0,所以当(π2-4)r-4h0,即𝑟ℎ4π2−4时,𝑙12𝑙22,此时路线2较短.答案(3)如题图3,圆柱的高为5cm.路线1:𝑙12=AC2=AB2+BC2=25+(2πr)2,路线2:𝑙22=(AB+BC)2=(5+4r)2,由题意,得25+(2πr)2=(5+4r)2,解得r=10π2−4.即当圆柱的底面半径r为10π2−4cm时,蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等.答案1.A【解析】A项,因为62+82=102,所以此选项符合题意;B项,因为42+62≠82,所以此选项不符合题意;C项,因为不是三个正整数,所以此选项不符合题意;D项,因为3+6=9,不能构成三角形,所以此选项不符合题意.故选A.一、选择题1.[2020江苏盐城大丰区期中]下列各组数中,是勾股数的是()A.6,8,10B.4,6,8C.0.3,0.4,0.5D.3,6,9答案2.D【解析】如图,延长AB,DC相交于点F,则△BFC是直角三角形,根据勾股定理,得BC2=(15-3)2+(20-4)2=122+162=400,所以BC=20.则剪去的直角三角形的斜边长为20cm.故选D.2.如图,小明将一张长为20cm,宽为15cm的长方形纸片(AEDE)剪去了一角,量得AB=3cm,CD=4cm,则剪去的直角三角形的斜边长为()A.5cmB.12cmC.16cmD.20cm答案3.A【解析】因为a2+(b+c)2=2bc+2c2,所以a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形.故选A.3.若a,b,c分别是△ABC的三边长,且a2+(b+c)2=2bc+2c2,则△ABC为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=40,BC=9,点M,N在AB上,且AM=AC,BN=BC,则MN的长为()A.6B.7C.8D.9答案4.C【解析】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=40,BC=9,根据勾股定理,得AB2=AC2+CB2=412,所以AB=41.因为AM=AC=40,BN=BC=9,所以MN=AM+BN-AB=40+9-41=8.故选C.答案5.C【解析】在△ABC中,AB=7,BC=24,AC=25,所以AB2+BC2=72+242=252=AC2,所以∠ABC=90°.如图,连接AP,BP,CP.由题意,知PE=PF=PG,设PE=PF=PG=x,因为S△ABC=12AB·CB=12AB·x+12AC·x+12BC·x=12(AB+BC+AC)·x=12×56x=28x,所以28x=84,所以x=3.故选C.5.[2020山东滨州一模]在△ABC中,AB=7,BC=24,AC=25,若△ABC内有一点P到各边的距离相等,则这个距离为()A.1B.2C.3D.46.D【解析】在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2=42,所以AC=4米,所以地毯的长度为AC+BC=7米.故选D.答案6.[2020陕西宝鸡期中]如图,在高为3米,斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯,则地