专题14全等三角线中的辅助线做法及常见题型之等腰直角三角形构建三垂直全等备战2021中考数学解题方法

专题14：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之等腰直角三角形构建三垂直全等一、单选题1．如图，一次函数2:25lyx的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为腰作等腰直角三角形ABC，则直线BC的解析式是（）A．325yxB．324yxC．328yxD．327yx或522yx2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数(0,0)kykxx的图象经过正方形对角线的交点E，若点A(2，0)、D(0，4)，则k=（）A．6B．8C．9D．123．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，DE是△ABC的中位线，点D在AB上，把点B绕点D按顺时针方向旋转α（0°α180°）角得到点F，连接AF，BF．下列结论：①△ABF是直角三角形；②若△ABF和△ABC全等，则α=2∠BAC或2∠ABC；③若α=90°，连接EF，则S△DEF=4.5；其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．①②③D．②③4．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，给出下列结论：①∠ABC=45°；②AD∥BE；③∠CAD=∠BCE；④△CEB≌△ADC；⑤DEADBE．那么其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题5．如图，点C在线段BD上，ABBD于B，EDBD于D，90ACE，且5ACcm，6CEcm，点P以2/cms的速度沿ACE向终点E运动，同时点Q以3/cms的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿ECEC…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动.过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N.设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与QCN△全等时，t的值为__________．6．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则BCD的面积为_____cm2．7．如图，已知点M（-1，0），点N（5m，3m+2）是直线AB：4yx右侧一点，且满足∠OBM=∠ABN，则点N的坐标是_____．8．如图，AO⊥OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．9．如图，已知三条平行直线1l，2l，3l，1l，2l两条平行线间的距离为2，2l，3l两条平行线间的距离为4，将一等腰直角三角形如图放置，过A，B分别向直线3l作垂线，垂足分别为D，E，则DE________．三、解答题10．如图所示，90,CBEBA，且,BEBABDBC，延长CB交DE于点F，且DFEF．求证：2ACBF．11．在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）如图1所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由；（2）如图2所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由．12．如图，在ABC中∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）求证：ADCCEB△≌△；（2）若AD=2，BE=3，求ABC的面积．13．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE的等量关系?并说明理由．14．如图，点A（﹣2，0），点C（﹣1，0），点A、C关于原点O的对称点分别为点B、D．线段AB沿y轴向下平移2m（m＞0）个单位长度，得到线段A1B1，抛物线y＝12ax2+bx+2过点A1，B1．（1）当m＝1时，a＝；（2）求a与m之间的关系式；（3）线段CD沿y轴向下平移2n（n＞0）个单位长度，得到线段C1D1，抛物线y＝ax2+bx+2过点C1，D1．①a＝；（用含n的式子来表示）m与n之间的关系式为．②点P（x，0）在x轴上，当△PC1B1为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．15．（1）认识模型：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：BEC≌CDA；（2）应用模型：①已知直线y＝－2x＋4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(5，4)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x－3上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形ADPQ是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．参考答案1．D【解析】【分析】先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CE⊥x轴于点E，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAE，得出C点坐标，用待定系数法即可求出直线BC的解析式．【详解】解：∵一次函数y=25x+2中，令x=0得：y=2；令y=0，解得x=5，∴B的坐标是（0，2），A的坐标是（5，0）．若∠BAC=90°，如图1，作CE⊥x轴于点E，∵∠BAC=90°，∴∠OAB+∠CAE=90°，又∵∠CAE+∠ACE=90°，∴∠ACE=∠BAO．在△ABO与△CAE中，90BAOACEBOAAECABAC＝＝＝＝，∴△ABO≌△CAE（AAS），∴OB=AE=2，OA=CE=5，∴OE=OA+AE=2+5=7．则C的坐标是（7，5）．设直线BC的解析式是y=kx+b，根据题意得：275bkb＝＝解得372kb＝＝，∴直线BC的解析式是y=37x+2．若∠CBA=90°，如图2，即BC⊥AB，同理可得，直线BC解析式为：y=52x+2；故选：D．【点评】本题考查的是一次函数问题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．2．C【解析】【分析】由A、D两点坐标，可得到OA=2，OD=4，通过作垂线，构造全等三角形后，可以得出点B的坐标，再根据中点坐标公式可求出点E的坐标，进而确定反比例函数的关系式，得出k的值．【详解】过点B作BF⊥OA，垂足为F，∵A（2，0）、D（0，4），∴OA=2，OD=4，∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∵∠DAO+∠ADO=∠DAO+∠BAF=90°，∴∠ADO=∠BAF，又∵∠AOD=∠BFA=90°，∴△AOD≌△BFA（AAS），∴BF=OA=2，AF=OD=4，∴点B（6，2），∵E是BD的中点，∴点E的坐标为(602，422)，即(3，3)，把E(3，3)代入反比例函数的关系式得：339k，故选：C．【点评】本题是反比例函数与几何的综合，考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，确定E点坐标是解决问题的关键．3．C【解析】【分析】①根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出ADBDDF，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可判断；②分两种情况讨论：ABFABC或ABFBAC，分别求α即可；③先根据题意画出图形，首先证明FDGADE，然后得出3FGDE，最后利用12DEFSDEFG即可求解．【详解】①∵DE是△ABC的中位线，ADDB．由旋转可知DFDB，ADBDDF，,DAFAFDDBFDFB．180DAFAFBABF，90AFDDFB，即90AFB，∴△ABF是直角三角形，故①正确；90C，90BACABC．若△ABF和△ABC全等，当ABFABC时，180218022(90)2ABFABCABCBAC；当ABFBAC时，180218022(90)2ABFBACBACABC，综上所述，若△ABF和△ABC全等，则α=2∠BAC或2∠ABC，故②正确；过点F作FGDE交ED的延长线于点G，∵DE是ABC的中位线，//DEBC，90AEDACB．FGDE，90FGE．90FDB，90ADF，90FDGADE．90DAEADE，FDGDAE．90AFB，D为AB中点，FDAD．在FDG△和ADE中，FGDAEDFDGDAEFDAD()FDGADEAAS3FGDE，11334.522DEFSDEFG，故③正确；所以正确的有：①②③．故选：C．【点评】本题主要考查三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质，掌握三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．4．D【解析】【分析】根据△ABC是等腰直角三角形可判断①正确；根据“内错角相等，两直线平行”可判断②正确；利用等腰三角形的性质及其它条件，证明△CEB≌△ADC，则其他结论易求．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，故①正确；∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴AD∥BE，故②正确；∵∠BCE+∠ACD=90°∠ACD+∠CAD=90°∴∠BCE=∠CAD，故③正确；又∠E=∠ADC=90°，AC=BC∴△CEB≌△ADC，故④正确∴CE=AD，BE=CD∴DEADBE，故⑤正确．因此，正确的结论有5个，故选：D．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定；要充分利用全等三角形的性质来找到结论，利相等线段的等量代换是正确解答本题的关键；5．1或115或235【解析】【分析】根据题意分三种情况进行讨论，并由全等三角形的判定和性质进行分析即可求解．【详解】解：①当点P在AC上，点Q在CE上时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC=CQ，∴5-2t=6-3t，∴t=1，②当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC=CQ，∴5-2t=3t-6，∴t=115，③当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC=CQ，∴2t-5=18-3t，∴t=235，综上所述：t的值为1或115或235．故答案为：1或115或235．【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．6．8．【解析】【分析】作DH⊥BC，证明ABCCHD≌，根据全等三角形的性质得到DH＝BC＝4，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵∠ABC＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠HCD+∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠HCD，在△ABC和△CHD中，BACHCDABCCHDACCD，∴ABCCHD≌（AAS），∴DH＝BC＝4，∴BCD的面积＝1144822BCDH（cm2），故答案为：8．【点评】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形全等的判定与性质，三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．7．5,33【解析】【分析】在x轴上取一点P（1，0），连接BP，作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，构造全等三角形△OBP≌△RPQ（AAS）；然后根据全等三角形的性质、坐标与图形性质求得Q（5，1），易得直线BQ的解析式，所以将点N代入该解析式来求m的值即可．【详解】解：在x轴上取一点P（1，0），连接BP，作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，∴∠BOP=