专题15全等三角线中的辅助线做法及常见题型之等腰旋转备战2021中考数学解题方法系统训练

专题15：第三章全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之等腰旋转一、单选题1．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（）A．4B．2C．1D．12二、填空题2．已知：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，对角线AC、BD相交于点O．过点O作一直角∠MON，直角边OM、ON分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MON，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），OM、ON分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是________(填序号)．①2EFOE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：2；③2BEBFOA；④OG•BD=AE2+CF2；⑤在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，34AE．3．已知直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，以AC为边向外作正方形ACEF，则这个正方形的中心O到点B的距离为______．4．如图，折线ABBC中，3AB，5BC，将折线ABBC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线ADDE，点B的对应点落在线段BC上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接CE，若CEBC，则tanEDC_____°．三、解答题5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．6．如图（a），（b），（c）所示，点E、D分别是正ABC、正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BECD，DB交AE于点P．（1）在图（a）中，求APD的度数．（2）在图（b）中，APD的度数为________，图（c）中，APD的度数为________．（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况．若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．7．（1）操作发现：将等腰RtABC与等腰RtADE按如图1方式叠放，其中90ACBADE，点D，E分别在AB，AC边上，M为BE的中点，连结CM，DM．小明发现CMDM，你认为正确吗？请说明理由．（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰RtADE绕点A沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：探究一：将图1中的等腰RtADE绕点A沿逆时针方向旋转45（如图2），其他条件不变，发现结论CMDM依然成立．请你给出证明．探究二：将图1中的等腰RtADE绕点A沿逆时针方向旋转135（如图3），其他条件不变，则结论CMDM还成立吗？请说明理由．8．已知在ABC中，,90ABACBAC，点D是BC上的任意一点，探究22BDCD与2AD的关系，并证明你的结论.9．如图所示，等腰直角ABC中，90ACB，点,DE在AB上，且45DCE，2BE，3AD．将BCE绕点C逆时针旋转90，画出旋转后的图形，并求DE的长．10．如图，在四边形ABCD中，∠C=60°，∠A=30°，CD=BC．（1）求∠B+∠D的度数．（2）连接AC，探究AD，AB，AC三者之间的数量关系，并说明理由．（3）若BC=2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足DE2=CE2+BE2，求点E运动路径的长度．11．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF12α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD2，请直接写出DE的长．12．如图，在线段AB上任取一点M（12BMAB）、把线段MB绕M点逆时针旋转90°至MC．连接AC，作AC的垂直平分线交AM于N点，此时AN、MN、BM为边的三角形是一个直角三角形，我们称点M，N是线段AB的勾股分割点.如下右图，已知：点M，N是线段AB的勾股分割点，MNAMBN，△ABC、△MND分别是以AB、MN为斜边的等腰直角三角形，且点C与点D在AB的同侧，若MN=3，连接CD，则CD=______.13．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC的长．（1）若AB=12，BE=3，求EF的长；（2）求∠EOF的度数；（3）若OE=52OF，求AECF的值．参考答案1．C【解析】【分析】根据正方形的性质可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA证明△AOE≌△BOF，从而可得△AOE的面积＝△BOF的面积，进而可得四边形AFOE的面积＝14正方形ABCD的面积，问题即得解决．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴△AOE的面积＝△BOF的面积，∴四边形AFOE的面积＝14正方形ABCD的面积＝14×22＝1；故选C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2．①③④【解析】【分析】①②③证明△BOE≌△COF，结合正方形的性质可判断；④证明OEGOBE△△，结合△BOE≌△COF的性质即可证得；⑤作OH⊥BC，表示出S△BEF+S△COF，即可判断．【详解】①∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，∴∠BOF+∠COF=90°，∵∠EOF=90°，∴∠BOF+∠COE=90°，∴∠BOE=∠COF，在△BOE和△COF中，BOECOFOBOCOBEOCF＝＝＝，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，BE=CF，∴EF=2OE；故①正确；②∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=14S正方形ABCD，∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故②错误；③∴BE+BF=BF+CF=BC=2OA；故③正确；④∵,45EOGBOEOEGOBE∴OEGOBE△△∴OEOGOBOE∴2OGOBOE∵12,22OBBDOEEF∴2OGBDEF∵在RtBEF△中，222EFBEBF∴222EFAECF∴22OGBDAECF，故④正确；⑤过点O作OH⊥BC，∵BC=1，∴OH=12BC=12，设AE=x，则BE=CF=1-x，BF=x，∴S△BEF+S△COF=12BE•BF+12CF•OH=12x（1-x）+12（1-x）×12=-12（x-14）2+932，∵12a＜0，∴当x=14时，S△BEF+S△COF最大；即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=14；故⑤错误；故答案为①③④．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知以上知识点是解题的关键．3．42【解析】如图，延长BA到D，使AD=BC，连接OD，OA，OC，∵四边形ACEF是正方形，∴∠AOC=90°，CO=AO，∵∠ABC=90°，∠ABC+∠AOC=180°，∴∠BCO+∠BAO=180°，∠BCO=∠DAO，在△BCO与△DAO中，BCADBCODAOCOAO∴△BCO≌△DAO（SAS），∴OB=OD，∠BOC=∠DOA，∴∠BOD=∠COA=90°，∴△BOD是等腰直角三角形，∴BD=2OB，∵BD=AB+AD=AB+BC=8，∴OB=42.故答案为42.4．247【解析】【分析】连接AC、AE，过点A作AF⊥BC于F,作AH⊥EC于H．再证明四边形AFCH是矩形,可得AF=CH,由旋转的性质可得AD=AB=3、BC=DE=5，∠ABC=∠ADE，则△ABC≌△ADE，即AC=AE；再由等腰三角形的性质和勾股定理可得BF、AF、EC、CD的长，最后根据正切定义解答即可．【详解】解：如图：连接AC、AE，过点A作AF⊥BC于F,作AH⊥EC于H．∵CE⊥BC，AF⊥BC，AH⊥EC∴四边形AFCH是矩形，∴AF=CH，∵将折线AB-BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD-DE∴AD=AB=3、BC=DE=5，∠ABC=∠ADE∴△ABC≌△ADE∴AC=AE，∵AC=AE，AB=AD，AF⊥BC，AH⊥EC，BF=DF，CH=EH∴222222,ABAFBFDEDCCE∴22229,25(52)4AFBFBFAF∴BF=95，AF=125∴249722,52555ECCHAFCD∴24tan7ECEDCCD故答案为：2【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，根据题意求得EC、CD的长是解答本题的关键．5．见解析【解析】【分析】作BF的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，从而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC≌△AEB推出BE＝CD，从而得到结论．【详解】解：取BF的中点E，连接AE，AD，∵∠BAC＝90°，∴AE＝BE＝EF，∴∠ABD＝∠BAE，∵CD⊥BD，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠DAC＝∠DBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DAC＝∠BAE，∴∠EAD＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，∴∠AED＝45°，∴AE＝AD，在△ABE与△ADC中，ABEDACBAEACDAEAD，∴△ABE≌△ADC，∴BE＝CD，∴BF＝2CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（1）证明见解析；（2）90，108；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据SAS证明ABEBCD△≌△，得出BAECBD，再根据APDABDBAE计算得出APD的度数；（2）方法与（1）相同；（3）由（1）、（2）可得出规律：APD等于这个正n边形的一个内角的度数．【详解】（1）∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC，∠ABE=∠C=60，在ABE△和BCD中ABBCABECBECD＝，∴ABEBCD△≌△，∴BAECBD．∵60ABDCBDABC，∴60ABDBAE．∵APDABDBAE，∴60APD．（2）如图（b）:∵△ABCM是正四边形，∴AB＝BC，∠ABE=∠C=90，在ABE△和BCD中ABBCABECBECD＝，∴ABEBCD△≌△，∴BAECBD．∵90ABDCBDABC，∴90ABDBAE．∵APDABDBAE，∴90APD．如图（c）:∵△ABCMN是正五边形，∴AB＝BC，∠ABE=∠C=108，在ABE△和BCD中ABBCABECBECD＝，∴ABEBCD△≌△，∴BAECBD．∵108ABDCBDABC