专题34第7章圆之四点共圆备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

34第7章圆之四点共圆一、单选题1．下列长度的三根木棒首尾依次相接，不能搭成三角形框架的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】C【分析】结合三角形满足的三角形满足的规律是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依次分析各个选项，选出正确答案.【详解】A选项中，5+67可以构成三角形；B选项中，3+78，能够构成三角形；C选项中不能构成三角形；D选项中2+45,能够构成三角形.故选C.【点睛】考查三角形构成规则，抓住三角形满足的规律是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，难度较容易.2．如图，四边形ABCD内接于O，ABCD，A为BD中点，60BDC，则ADB等于（）A．40B．50C．60D．70【答案】A【分析】根据ABCD，A为BD中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．【详解】∵A为BD中点，∴ABAD,∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，∵ABCD，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，∵四边形ABCD内接于O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴3∠ADB+60°=180°，∴ADB=40°，故选：A．【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补．3．如图，圆上有A、B、C、D四点，其中80BAD，若弧ABC、弧ADC的长度分别为7、11，则弧BAD的长度为（）A．4B．8C．10D．15【答案】C【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得100C，然后根据圆周角定理可得弧BAD所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得．【详解】弧ABC、弧ADC的长度分别为7、11圆的周长为7111880BAD100C（圆内接四边形的对角互补）弧BAD所对圆心角的度数为2200C则弧BAD的长度为2001810360故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键．4．如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．1B．65C．3215D．174【答案】A【分析】只要证明ABDMBE∽，得ABBDBMBE，求出BM、BD即可解决问题．【详解】解：ABAC，ABCC，DACACD，DACABC，CC，CADCBA∽，CACDCBCA=，464CD，83CD，810633BDBCCD，DAMDACDBA，ADMADB，ADMBDA∽，ADDMBDDA，即8310833DM，3215DM，103263155MBBDDM，ABMCMED，A、B、E、D四点共圆，ADBBEM，EBMEADABD，ABDMBE∽，ABBDBMBE，6105314BMBDBEAB．故选：A．【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O半径为4，且∠C＝2∠A，则BD的长为__．【答案】43【分析】连接OB，OD，利用内接四边形的性质得出∠A=60°，进而得出∠BOD=120°，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．【详解】连接OB，OD，过O作OE⊥BD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=2∠A，∴∠C+∠A=3∠A=180°，解得：∠A=60°，∴∠BOD=120°，在Rt△BEO中，OB=4，∴BE=23，∴AC=43，故答案为：43．【点睛】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出∠A=60°．6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BE，则∠ABE的度数为____________度.【答案】36【分析】由正五边形的性质可知△ABE是等腰三角形，求出∠A的度数即可解决问题．【详解】∵在正五边形ABCDE中，∠A＝15×（5−2）×180＝108°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝12（180°−108°）＝36°．故答案为36．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则FGOG＝_____．【答案】455【分析】作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，根据三角形中位线定理分别求出OM、ON，根据勾股定理求出OE，根据相似三角形的性质求出FN，得到FC的长，证明△GFC∽△GOE，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【详解】解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°，∠ABC=90°，∴OM∥AD，ON∥AB，∵点O为AC的中点，∴OM=12AD=3，ON=12AB=4.5，CM=4.5，CN=3，∵CE=1.5，∴ME=CM+CE=6，在Rt△OME中，OE=222236OMME=35，∵∠MON=90°，∠EOF=90°，∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°，∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，∴△OME∽△ONF，∴OMMEONFN，即364.5FN，解得，FN=9，∴FC=FN+NC=12，∵∠FOE=∠FCE=90°，∴F、O、C、E四点共圆，∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，∴△GFC∽△GOE，∴1245535FGFCOGOE，故答案为：455．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．如图，正方形ABCD中，9AB，点E为AD上一点，且:1:2AEED，点P为边AB上一动点，连接PE，过点E作EFPE，交射线BC于点F，连接PF，点M为PF中点，连接DM，则DM的最小值为________．【答案】211010【分析】由已知可得AE=3，DE=6，又AB=9，90A，由勾股定理得BE=2239310，由90PEF，90PBF，M为PF中点，可知M为四边形BFEP外接圆的圆心，BE为圆M的弦，故圆心M在线段BE的垂直平分线上，作线段BE的垂直平分线GH交BE于G，交CD于H，过点D作DMGH于M，此时的线段DM即为所求最小值，过点E作ENDM于N，则四边形EGMN为矩形，可得90GEN，GE=MN，可证ABENEDV:V，可得AEBEDNDE，代入数据得：DN=3105，又MN=EG=3102，可得DM的长度．【详解】∵:1:2AEED，AD=AB=9，∴AE=3，DE=6，又∵AB=9，90A，∴BE=2239310，∵90PEF，90PBF，∴B、F、E、P四点共圆，且PF为直径，∵M为PF中点，∴M为四边形BFEP外接圆的圆心，∵E、B为定点，∴BE为圆M的弦，∴圆心M在线段BE的垂直平分线上，如下图，作线段BE的垂直平分线GH交BE于G，交CD于H，过点D作DMGH于M，此时的线段DM即为所求最小值，过点E作ENDM于N，则四边形EGMN为矩形，∴90GEN，GE=MN,∴90AEBDEN，∵90A，∴90ABEAEB，∴=DENABE，又∵==90ADNE，∴ABENEDV:V，∴AEBEDNDE，即33106DN，解得：DN=3105，∵BE=310，∴EG=3102，∴MN=3102，∴DM=DN+MN=3105+3102=211010．【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆的对称性，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其逆定理确定四点共圆是解题的关键．三、解答题9．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．①若AP＝2，求△APC的面积；②若AP＝2BP，直接写出sin∠ACP的值为______．【答案】（1）证明见解析；（2）①△APC的面积＝1；②41717．【分析】（1）由题意可证点A，点B，点E，点C四点共圆，可得∠AEC＝∠ABC＝45°；（2）①通过证明△APB∽△CEB，可求CE＝2AP＝2，由等腰直角三角形的性质可求CF＝1，即可求解；②过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，过点P作PH⊥AC于H，设AP＝2a，则BP＝a，可得CE＝2AP＝2a，CF＝EF＝a，BE＝PE＝22a，由勾股定理可求AC2，CP2，利用面积法可求PH2，即可求解．【详解】证明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，AB＝2BC，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°＝∠ACB，∴点A，点B，点E，点C四点共圆，∴∠AEC＝∠ABC＝45°；（2）①如图2，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，∵∠BPD＝45°，BE⊥AD，∴∠PBE＝45°＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBE，∵∠AEB＝90°＝∠ACB，∴点A，点B，点E，点C四点共圆，∴∠BAE＝∠BCE，∠AEC＝∠ABC＝45°，∴△APB∽△CEB，∴CE＝2AP＝2，∵CF⊥AD，∠AEC＝45°，∴∠FCE＝∠CEF＝45°，∴CF＝EF＝22CE＝1，∴△APC的面积＝12×AP×CF＝1；②如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，过点P作PH⊥AC于H，设AP＝2a，则BP＝a，由①可知，CE＝2AP＝2a，CF＝EF＝a，∵BP＝a，∠BPE＝45°，∠BEP＝90°，∴BE＝PE＝22a，∴AF＝AE﹣EF＝2a+22a﹣a＝a+22a，PF＝a﹣22a，∴CP2＝CF2+PF2＝a2+（a﹣22a）2＝52a2﹣2a2，AC2＝AF2+CF2＝a2+（a+22a）2＝52a2+2a2，∵S△ACP＝12×AC×PH＝12×AP×CF，∴（AC•PH）2＝（AP•CF）2，∴PH2＝8522a2，∵（sin∠ACP）2＝22PHPC＝8522522＝1617，∴sin∠ACP＝41717，故答案为：41717．【点睛】本题是三角形综合题，考查了四点共圆，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．10．在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E．F运动时间为t秒．回答下列问题：(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于45cm?(2)如图2，在点E、F运动过程中，①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．【答案】（1）t=4或8；（2）①证明见解析；②存在，t=3或12；③6cm．【分析】（1）由题意易得DE=CF=t，则有