专题35第7章圆之与直径有关的辅助线备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

35第7章圆之与直径有关的辅助线一、单选题1．如图，AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点，弦CD交AB于点E，若35DECE，则tan∠B的值是（）A．15B．14C．13D．12【答案】C【分析】如图（见解析），连接OC，过O作OHCE于E，过D作DFAB于F，先根据垂径定理得到12CHCD，设3,5DExCEx，从而可得4CHx，再根据相似三角形的判定与性质可得25OCx，从而可得5OEx，又根据相似三角形的判定与性质可得DF、EF的长，从而可得BF的长，最后根据正切三角函数的定义即可得．【详解】如图，连接OC，过O作OHCE于E，过D作DFAB于F∵35DECE∴设3,5DExCEx，则8CDDECEx∴142CHCDx∵AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点∴90EOC在OCH△和ECO中，90CCOHCEOCOCHECOOCCHCEOC，即45OCxxOC解得25OCx或25OCx（不符题意，舍去）225OECEOCx∵,DFABOCAB∴//DFOC∴OCEFDEOCOECEDFEFDE，即25553xxxDFEFx解得6535,55DFxEFx25OBOCx3518525555BFOBOEEFxxxx则在RtBDFV中，6515tan31855xDFBBFx故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．二、填空题2．如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠BCD＝22.5°，AB＝2cm，则圆O的半径为______．【答案】2【分析】连接OB，根据垂径定理以及勾股定理即可求出OB的长度．【详解】如图，连接OB，∵OC＝OB，∠BCD＝22.5°，∴∠EOB＝45°，∵AB⊥CD，CD是直径，AB=2，∴EB＝12AB＝1，∴OE＝EB＝1，∴OB＝22OEBE=2，故答案为：2【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理及三角形外角性质，垂直弦的直径平分弦，并且平分弦这条弦所对的两条弧；熟练掌握垂径定理是解题关键．3．如图，已知AB是O的直径，AC是O的弦，过点B作O的切线，与AC的延长线交于点,D作AEAC交直线DB于点E．若13,12,ABAC则BE______________．【答案】1565【分析】连接BC，求得BC=5，证明△ABC∽△EAB，根据相似性质即可求出BE.【详解】解：如图，连接BC．在RtABC中，根据勾股定理，得22BCABAC2213125ABQ是直径，90BCA．BDQ是O的切线，,ABBD即90ABE,AEAC90CABBAE90EBAE，,CABE,BEACABBEABACBC13125BE1565BE故答案为：1565【点睛】（1）见直径，想半径或想圆周角为直角；（2）见切线想做过切点的直径，构造直角；（3）求线段的长度在几何图形中一般选择勾股定理、相似、或三角函数来求解.4．如图所示，ABC△中，CACB，90ACB，M，N分别在射线AB，AC上移动，且10MN，则点A到点M的距离的最大值为__.【答案】102.【解析】【分析】过A，M，N三点作O，作直径MD连结ND，根据等腰直角三角形的性质可得45AB，再根据同弧所对的圆周角相等得出45AD，从而确定O的直径即可【详解】如图所示，过A，M，N三点作O，作直径MD连结ND，∵CACB，90ACB∴45AB，∵45AD在RtMDN中，10MN，∴102MD在O，弦MA的最大值等于直径MD∴A到点M的距离的最大值为102【点睛】本题考查了圆周角的性质定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股、勾股定理等知识点，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键5．用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形，已知长方形的长比宽多am，则正方形面积与长方形面积的差为______2m.（用含a的代数式表示）【答案】214a【分析】设出长方形的长和正方形的长,设出铁丝的长度,用l表示面积做差即可得出.【详解】设长方形的长为x，结合题意可知宽为x-a，设铁丝的长度为l，建立方程22xaxl,解得24lax,则长方形的面积为2222144164lalaaSl而正方形的面积为24416lllS,所以面积差为24a故答案为14a2【点睛】本题考查了长方形面积计算公式，正方形面积计算公式，运用多项式做差是解题的关键.6．如图，AB、CD是半径为5的O的两条弦，8AB，6CD，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点FPC，P为EF上的任意一点，则PAPC的最小值为____.【答案】72.【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值【详解】连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．根据垂径定理，得到BE=114,322BEABCFCD2222543OEOBBE2222534OFOCCF∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=72，则PA+PC的最小值为72．【点睛】正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．7．如图，已知RtABC中，90ACB，tan2B，以BC为直径作O，交AB于点E，在AB上取点D使CDCB，CD交O于点F，已知1CF，则tanFAC__________．【答案】938【分析】连接CE，EF，BF，过F作FG⊥AC于点G，设BEm，则25CEmBCm，，利用EDFCDB∽求出m的值，利用RtCBFRtFCG∽求出FG和CG的值，利用RtEBCRtCBA∽求出AB的值，进而求出AG，从而得出结论．【详解】解：连接CE，∵BC是直径，∴CE⊥BA，又∵tan2B，∴设BEm，则2,5CEmBCm，∵CBCD，∴BEEDm，5CDm，∴51DFm，连接EF，∵四边形BCFE是圆内接四边形，∴DEFBCD，DFEB，∴EDFCDB∽∴DFDEBDBC，即：515mmmmm解得：53m，∴5525,,333BCDECE，连接BF，过F作FG⊥AC于点G，∵BC是直径，∴90BFC，∴90CBFBCF，∵90FCGBCF，∴CBFFCG，∴RtCBFRtFCG∽，∴=FGFCFCBC，在RtBCF中，由勾股定理得：43BF，∴1=513FG，∴35FG，∴45CG，∵EBCECA，∴RtEBCRtECA∽，∴=CEAEBECE，∴25254533353CECEAEBE，∴553AB，∴222255105333ACABBC，∴104383515AG，∴395tan383815FAC，故答案为：938．【点睛】本题属于圆的综合题，难度较大，主要考查了圆内接四边形、相似、勾股定理、直角三角形，三角函数等知识点．在解题过程中，要灵活应用，尤其是辅助线的构造，是解决本题的关键．三、解答题8．如图所示，AO是锐角三角形AML的外接圆O的半径，AEML于点E，求证：OAMEAL.【答案】见解析.【解析】【分析】作直径AD，则OAM，EAL分别位于RtDAM△和RtALE△中，根据等角的补角相等即可得证.【详解】延长AO交O于D，连结MD∵AD是直径∴90DMA∵AEML于点E∴90AEL又在O中DL∴OAMEAL.【点睛】本题考查了圆周角的性质定理，经常利用直径构造直角，来推理证明圆中角度问题.9．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，DB⊥AB于B，点C是弧AB上的任一点，过点C作⊙O的切线交BD于点E．连接OE交⊙O于F．（1）求证：AD∥OE；（2）填空：连接OC、CF，①当DB＝时，四边形OCEB是正方形；②当DB＝时，四边形OACF是菱形．【答案】（1）见解析；（2）①4，②BD＝43．【分析】（1）连接OC、BC，由AB为⊙O的直径，DB⊥AB于B，推出DB是⊙O的切线，进而证明OE⊥BC，AC⊥BC，即可得出结论；（2）①若四边形OCEB是正方形，CE＝BE＝OB＝OC＝12AB＝2，由（1）可证1BEBOEDOA，得到DE＝BE＝2，BD＝BE+DE＝4即可求出；②若四边形OACF是菱形，则OA＝AC，又OA＝OC，于是△OAC为等边三角形，∠A＝60°，在Rt△ABD中，由tanA＝3BDAB，即可求得BD．【详解】（1）证明：连接OC、BC，如图1，∵AB为⊙O的直径，DB⊥AB于B，∴DB是⊙O的切线，∵CE与⊙O相切于点C，∴BE＝CE，∴点E在BC的垂直平分线上，∵OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上，∴OE⊥BC，∵∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∴AD∥OE；（2）如图2，①若四边形OCEB是正方形，AB＝4，∴CE＝BE＝OB＝OC＝12AB＝2，∵OE∥AC，∴1BEBOEDOA，∴DE＝BE＝2，∴BD＝BE+DE＝4，故答案为：4；②若四边形OACF是菱形，∴CO平分∠ACF，CF∥OA，∴∠ACO＝∠FCO＝∠AOC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝∠AOC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠ABD＝90°，∴Rt△ABD中，tanA＝3BDAB，∴BD＝43，故答案为：43；【点睛】本题是圆综合题，正方形的性质，菱形的性质，以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握圆的相关性质以及菱形和正方形的性质是解题的关键．10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥CD于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）设AD交⊙O于E，35CDAC=，ACD的面积为6，求BD的长．【答案】（1）见解析；（2）3734．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质，角平分线的定义得到∠DAC＝∠OCA，证明OC//AD，根据平行线的性质得到∠OCE＝∠ADC＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）设AC＝5x，CD＝3x，根据勾股定理得到AD＝4x，根据三角形的面积得到AD＝4，CD＝3，AC＝5，连接BC，根据相似三角形的性质得到AB＝254，连接BE交OC于F，由垂径定理得到OC⊥BE，BF＝EF，得到EF＝CD＝3，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC//AD，∴∠OCE＝∠ADC＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵CDAC＝35，∴设AC＝5x，CD＝3x，∴AD＝4x，∵ACD的面积为6，∴12AD•CD＝1432xx＝6，∴x＝1（负值舍去），∴AD＝4，CD＝3，AC＝5，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC，∵∠DAC＝∠CAB，∴ADC∽ACB，∴ADAC＝ACAB，∴45＝5AB，∴AB＝254，∵∠DAC＝∠CAB，∴CECB，连接BE交OC于F，∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝∠DEB＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝3，∴BE＝6，∴AE＝22ABBE＝74，∴DE＝4﹣74＝94，∴BD＝22BEDE＝3734．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，