专题54第12章压轴题之猜想证明类备战2021中考数学解题方法系统训练教师版

54第12章压轴题之猜想证明类一、单选题1．如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD平分∠ACB，点D，E关于CB对称，连接EB并延长，与AD的延长线交于点F，连接DE，CE．对于以下结论：①DE垂直平分CB；②AD=BE；③∠F不一定是直角；④EF2＋DF2=2CD2．其中正确的是()A．①④B．②③C．①③D．②④【答案】D【分析】根据点D，E关于CB对称，可得CB垂直平分DE，即可判断①错误；根据CB垂直平分DE，连接BD，可得BD=BE，证明△ACD≌△BCD，可得AD=BD，即可判断②；结合①②证明△ACD≌△BCD≌△BCE，可得∠CAD=∠CEB=12(180°-45°)=67.5°，∠FED=67.5°-45°=22.5°，进而证明角F的度数，即可判断③；在Rt△FDE中，根据勾股定理，得EF2+DF2=DE2，根据∠DCE=90°，CD=CE，即可判断④．【解答】①∵点D、E关于CB对称，∴CB垂直平分DE，所以①错误；②连接BD，如图，∵CB垂直平分DE，∴BD=BE，∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，在△ACD和△BCD中，45ACBCACDBCDCDCD，∴△ACD≌△BCD(SAS)，∴AD=BD，∴AD=BE，所以②正确；③∵CB垂直平分DE，∴BD=BE，CD=CE，在△BCD和△BCE中，BDBECDCEBCBC，∴△BCD≌△BCE(SSS)，∴△ACD≌△BCD≌△BCE，∴∠ACD=∠DCB=∠ECB=45°，∴CA=CD=CB=CE，∴∠CAD=∠CEB=12(180°-45°)=67.5°，∵∠CED=∠CDE=12(180°-∠DCB-∠ECB)=45°，∴∠FED=67.5°-45°=22.5°，∵∠CDE=∠ACD=45°，∴DE∥AC，∴∠FDE=∠A=67.5°，∴∠F=180°-∠FDE-∠FED=90°，所以③错误；④在Rt△FDE中，根据勾股定理，得：EF2+DF2=DE2，∵∠DCE=∠DCB+∠ECB=90°，CD=CE，∴DE2=CD2+CE2=2CD2，∴EF2+DF2=2CD2，所以④正确．综上所述：正确的是②④．故选：D．【点评】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．2．如图，过ABCD的对角线BD上一点K作//,//,MINBCPQABMN分别交,ABCD于点.,MNPQ分别交,ADBC于点,PQ，那么图中四边形QCNK的面积1S与四边形AMKP的面积2S的大小关系是（）A．1SSB．12SS=C．12SSD．不能确定【答案】B【分析】先证四边形BMKQ、四边形PKND是平行四边形得S△ABD＝S△BCD，S△BMK＝S△BQK，S△PKD＝S△NKD，据此可得．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，又MN∥BC，PQ∥AB，∴四边形BMKQ、四边形PKND是平行四边形，∴S△ABD＝S△BCD，S△BMK＝S△BQK，S△PKD＝S△NKD，∴S1＝S2，故选：B．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质及对角线将平行四边形面积平分的性质．3．已知ABC的三条边长分别为6，8，12，过ABC任一顶点画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．6条B．7条C．8条D．9条【答案】B【分析】不妨设AB=6，AC=8，BC=12，分别作三边的垂直平分线，则可得三条，再分以AB、AC为腰和底进行讨论，可得出结论．【解答】解：不妨设AB=6，AC=8，BC=12，分别作三边的垂直平分线，如图1，则BD=AD，EA=EC，FB=FC，可知AE、BF、AD满足条件；当AB为腰时，以点A为圆心，AB为半径画圆，分别交BC、AC于点G、H，以B为圆心，AB为半径，交BC于点J，如图2，则AB=AG，AB=AH，BA=BJ，满足条件；当AC为腰时，如图3，以点C为圆心，CA为半径画圆，交BC于点M，则CA=CM，满足条件；当A为圆心AC为半径画圆时，与AB、BC都没有交点，因为BC为最长的边，所以不可能存在以BC为腰的等腰三角形，综上可知满足条件的直线共有7条.故选B．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，利用垂直平分线的性质及圆的基本性质找到满足条件的直线是解题的关键．4．如图，在ABC中，ABAC，90BAC，直角EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分别交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论：①AECF；②EPF是等腰直角三角形；③12ABCAEPFSS四边形；④EFAP．上述结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质可得∠PAE=12∠BAC=45°，∠B=∠C=45°，PA⊥BC，可得∠C=∠PAE，根据直角三角形斜边中线的性质可得PA=PC，根据角的和差关系可得∠FPC=∠EPA，利用ASA可证明△EPA≌△FPC，根据全等三角形的性质可得AE=CF，PE=PF，由∠EPF=90°，可得△EPF是等腰直角三角形，可判定①②正确；根据全等三角形的性质可知S△EPA=S△FPC，可得S四边形AEPF=S△APC，由S△APC=12S△ABC可判定③正确；只有当EF为△ABC的中位线时，EF=PC=PA，可判定④错误；综上即可得答案．【解答】∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∵点P为BC中点，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠PAE=∠PAC=45°，PA=PC，AP⊥BC，∴∠C=∠PAC，∵∠EPF=∠EPA+∠APF=90°，∠FPC+∠APF=90°，∴∠EPA=∠FPC，在△EPA和△FPC中，EAPCAPPCEPAFPC，∴△EPA≌△FPC，∴AE=CF，PE=PF，故①正确，∵∠EPF=90°，∴△EPF是等腰直角三角形，故②正确，∵△EPA≌△FPC，∴S△EPA=S△FPC，∴S四边形AEPF=S△EPA+S△PAF=S△FPC+S△PAF=S△APC，∵PC=12BC，∴S△APC=12S△ABC，∴S四边形AEPF=12S△ABC，故③正确，只有当EF为△ABC的中位线时，EF=PC=PA，故④错误；综上所述：正确的结论有①②③，共3个，故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．5．如图，在ABC中，90ACB，5,3ABBC，P是AB边上的动点（不与点B重合），将BCP沿CP所在直线翻折，得到BCP，连接BA，则下面结论错误的是（）A．当APBP时，//ABCPB．当APBP时，∠2BPCBACC．当CPAB时，175APD．BA长度的最小值是1【答案】C【分析】A．根据折叠性质和三角形内角和定理可证∠AB´P=∠CPB´，从而可证//ABCP；Ｂ．根据折叠性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知PA=PB=PC=PB´,A、B、C、B´四点共圆，根据圆周角定理即可求出2BPCBAC；C．根据相似三角形的判定证得△PAC∽△CAB，再根据相似三角形的对应边成比例求得AP的值，即可判断175AP错误；D.根据两点之间线段最短，求得BA长度的最小值，即可判断此结论正确．【解答】在△ABC中，∠ACB=90°，AP=BP，∴AP=BP=CP，∠BPC=1180'2APB由折叠的性质可得CP=B´P，∠CPB´=∠BPC=1180'2APB∴AP=B´P，∴∠AB´P=∠B´AP=1180'2APB∴∠AB´P=∠CPB´∴AB´//CP故A正确；∵AP=BP，∴PA=PB´=PC=PB，∴点A,B´，C，B在以点P为圆心，PA长为半径的圆上由折叠的性质可得BC=B´C，∴'BCBC∴∠B´PC=2∠B´AC故B正确；当CP⊥AB时，∠APC=∠ACB∵∠PAC=∠CAB∴△PAC∽△CAB∴APACACAB∵在Rt△ABC中，AC=224ABBC∴AP=2165ACAB故C错误；由轴对称的性质可知：BC=CB´=3∵CB´长度固定不变，∴当AB´+CB´有最小值时，AB´的长度有最小值根据两点之间线段最短可知：当A、B´、C三点在一条直线上时，AB´有最小值，∴AB´=AC-B´C=4-3=1故D正确故选：C【点评】本题考查折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆周角的定理，根据折叠性质得出相等的线段或相等的角是解决问题的关键．6．如图，ABC中，90A，D是AC上一点，且2ADBC，P是BC上任一点，PEBD于点E，PFAC于点F，下列结论：①DBC是等腰三角形；②30C；③PEPFAB；④222PEAFBP，其中正确的结论是（）A．①②B．①③④C．①④D．①②③④【答案】B【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADB＝∠C＋∠DBC，然后求出∠C＝∠DBC，再根据等角对等边可得DC＝DB，从而判断①正确；没有条件说明∠C的度数，判断出②错误；连接PD，利用△BCD的面积列式求解即可得到PE＋PF＝AB，判断出③正确；过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠C＝∠PBG，∠G＝∠CFP＝90°，然后求出四边形ABGF是矩形，根据矩形的对边相等可得AF＝BG，根据然后利用“角角边”证明△BPE和△BPG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝BE，再利用勾股定理列式求解即可判断④正确．【解答】在△BCD中，∠ADB＝∠C＋∠DBC，∵∠ADB＝2∠C，∴∠C＝∠DBC，∴DC＝DB，∴△DBC是等腰三角形，故①正确；无法说明∠C＝30°，故②错误；连接PD，则S△BCD＝12BD•PE＋12DC•PF＝12DC•AB，∴PE＋PF＝AB，故③正确；过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，则∠C＝∠PBG，∠G＝∠CFP＝90°，∴∠PBG＝∠DBC，四边形ABGF是矩形，∴AF＝BG，在△BPE和△BPG中，PBGDBCGBEFPBPB，∴△BPE≌△BPG（AAS），∴BG＝BE，∴AF＝BE，在Rt△PBE中，PE2＋BE2＝BP2，即PE2＋AF2＝BP2，故④正确．综上所述，正确的结论有①③④．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出矩形和全等三角形是解题的关键．7．横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，一列有规律的整点，其坐标依次为1,0，2,0，2,1，1,1，1,2，2,2，，根据这个规律，第2019个整点的坐标为（）A．45,6B．45,13C．45,22D．45,0【答案】A【分析】根据图像，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，计算即可得到答案．【解答】补充作图，如下图，由图可知，点1,0是第1个点，点3,0是第9个点，点5,0是第25个点，，观察图可知，直线21xn上共有21n个点，又因为24520252019且20252019645，所以第2019个点在直线45x上且在点(45,0)上方相距6个单位长度，所以第2019个点为(45,6)故选A．【点评】本题主要考查坐标的确定，能根据已知条件发现点的规律是解题的关键．8．如图，已知：在等腰RtABC△中，90BAC，BE平分ABC，交AC于F，且CEBE于点E，BC边上的中线AD交BE于G，连接DE，则下列结论正确的是（）①AGAF；②DEAB∥；③2BFCE；④ABAFBC；⑤2BGC