九年级上数学课件第一章特殊平行四边形A课时学习区北师大版

分层练透教材，多重拓展培优第一章特殊平行四边形数学·九年级上册·北师课时学习区1菱形的性质与判定课时1菱形的性质课时1过基础教材核心知识精练过基础·教材核心知识精练1.如图,若要使▱ABCD成为菱形,则需要添加的条件是()A.AB=CDB.AD=ACC.AB=BCD.AC=BD答案1.C知识点1菱形的定义过基础·教材核心知识精练2.[2019广西玉林中考]菱形不具备的性质是()A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等答案2.D知识点2菱形的性质过基础·教材核心知识精练3.[2020四川成都七中育才学校开学考试]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是()A.20B.24C.40D.48答案3.A【解析】设AC与BD相交于点O.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,OA=12AC=3,OB=12BD=4.在Rt△AOB中,AB=𝑂𝐴2+𝑂𝐵2=32+42=5,∴菱形ABCD的周长为4AB=20.故选A.知识点2菱形的性质过基础·教材核心知识精练4.[2019内蒙古赤峰中考]如图,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则OE的长是()A.2.5B.3C.4D.5答案4.A【解析】∵四边形ABCD为菱形,且周长为20,∴AB=BC=CD=AD=5,O为BD的中点,又∵E为CD的中点,∴OE为△BCD的中位线,∴OE=12BC=2.5.故选A.知识点2菱形的性质过基础·教材核心知识精练5.如图,O是菱形ABCD的对角线AC,BD的交点,E,F分别是OA,OC的中点,给出下列结论:①S△ADE=S△EOD;②四边形BFDE是中心对称图形;③△DEF是轴对称图形;④∠ADE=∠EDO.其中错误的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案5.A【解析】根据△ADE与△EOD等底同高可知S△ADE=S△EOD,故①正确;根据菱形ABCD的对角线互相平分及E,F分别是OA,OC的中点,可得四边形BFDE是平行四边形,而平行四边形是中心对称图形,故②正确;由条件可知DB垂直平分EF,所以△DEF是等腰三角形,因此△DEF是轴对称图形,故③正确;直角三角形ADO的直角边AO上的中线不是∠ADO的平分线,故④错误.故选A.知识点2菱形的性质过基础·教材核心知识精练6.[2018广东广州中考]如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是.答案6.(-5,4)【解析】∵点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),∴AB=5,OA=3.∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=5.在Rt△OAD中,由勾股定理,得OD=𝐴𝐷2−𝑂𝐴2=52−32=4.∵点C在第二象限,且CD=AB=5,∴点C的坐标是(-5,4).知识点2菱形的性质解答本题的关键是利用菱形的性质和勾股定理求出线段长,再根据象限定符号.过基础·教材核心知识精练7.如图所示是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架.若墙上钉子间的距离AB=BC=15cm,则∠1=°.答案7.120【解析】如图,连接AB,BC.∵菱形的边长为15cm,AB=BC=15cm,∴AB和两个菱形的各一边(AM,BM)构成等边三角形,进而可得∠EAM=∠AMB=60°,∴∠1=120°.知识点2菱形的性质过基础·教材核心知识精练8.[2019陕西宝鸡金台区一模]如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E,则线段BE的长是.答案8.1【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB.∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD=AB=4,∠OBE=60°.∵OE⊥AB,∴∠BOE=30°.∵O为BD的中点,∴OB=12BD=2,∴BE=12OB=1.知识点2菱形的性质本题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质,证得△ABD是等边三角形是解题的关键.过基础·教材核心知识精练9.[2019江苏无锡外国语学校开学考试]如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连接DF,则∠CDF=°.答案9.60【解析】如图,连接BD,BF.∵∠BAD=80°,∴∠ADC=100°.∵EF垂直平分AB,AC垂直平分BD,∴AF=BF,BF=DF,∴AF=DF,∴∠FDA=∠FAD=12∠BAD=40°,∴∠CDF=100°-40°=60°.知识点2菱形的性质菱形的性质在解题中的应用①菱形的每一条对角线平分一组对角,可以用来证明角相等;②菱形的对角线互相垂直,可以用来证明线段垂直;③一个内角是60°的菱形,较短的对角线将其分成两个全等的等边三角形;④两条对角线将任意菱形分为四个全等的直角三角形.过基础·教材核心知识精练10.[2020福建三明期中]如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=120°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是.答案10.3【解析】有关直线同侧的折线段相加值最小问题,常转化为直线两侧两点之间线段最短问题,即将点B借助菱形的对称性转移到点D,如图,连接DE交AC于点P,易知PB=PD,此时PE+PB的最小值为DE的长.因为四边形ABCD是菱形,E是AB的中点,所以AD=AB=2,AE=12AB=1.易知DE垂直平分AB,在Rt△ADE中,DE=𝐴𝐷2−𝐴𝐸2=3,即PE+PB的最小值为3.知识点2菱形的性质过基础·教材核心知识精练11.[2019天津和平区期末]在菱形ABCD中,AC是对角线.(1)如图1,若AB=6,则菱形ABCD的周长为,若∠DAB=70°,则∠D的度数是,∠DCA的度数是.(2)如图2,P是AB上一点,连接DP交对角线AC于点E,连接EB,求证:∠APD=∠EBC.知识点2菱形的性质过基础·教材核心知识精练答案11.【解析】(1)24110°35°∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD=6,∴菱形ABCD的周长为4×6=24.∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=70°,∴∠D=110°,∠DCA=12∠DCB=12∠DAB=35°.(2)∵四边形ABCD是菱形,∴DC=BC,∠DCE=∠BCE,又∵CE=CE,∴△DCE≌△BCE,∴∠CDP=∠EBC.∵DC∥AB,∴∠CDP=∠APD,∴∠APD=∠EBC.知识点2菱形的性质过能力能力强化提升训练过能力·能力强化提升训练1.[2020广东珠海北大附属实验学校段考]如图,在菱形ABCD中,AE,AF分别垂直平分BC,CD,垂足分别为E,F,则∠EAF的度数是()A.90°B.60°C.45°D.30°答案1.B【解析】连接AC,根据垂直平分线的性质和菱形的邻边相等,可得△ABC,△ACD都是等边三角形,∴∠B=60°,∴∠BCD=120°.在四边形AECF中,由四边形的内角和为360°,可得∠EAF=360°-90°-90°-120°=60°.故选B.过能力·能力强化提升训练2.[2019重庆巴蜀中学开学考试]如图,在菱形ABCD中,∠BCD=50°,BC的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接BF,DF,则∠DFC的度数是()A.100°B.110°C.120°D.130°答案2.D【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴∠ACD=∠ACB=12∠BCD=25°.∵EF垂直平分线段BC,∴FB=FC,∴∠FBC=∠FCB=25°,∴∠CFB=180°-25°-25°=130°,根据菱形的对称性,可知∠CFD=∠CFB=130°.故选D.过能力·能力强化提升训练3.[2019天津北辰区模拟]如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E为BC边的中点,M为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AM+12BM的最小值的是()A.ADB.AEC.BDD.BE答案3.B【解析】如图,过点M作MF⊥BC于点F,∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,点E为BC的中点,∴∠DBC=12∠ABC=30°,AE⊥BC,∴MF=12BM,∴AM+12BM=AM+MF,∴当A,M,F三点共线时,AM+MF取得最小值,∴AM+12BM的最小值为线段AE的长.故选B.过能力·能力强化提升训练4.[2019广东广州华南师大附中段测]如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为()A.(1,-1)B.(-1,-1)C.(2,0)D.(0,-2)答案4.B【解析】由菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),得点D的坐标为(1,1).每秒旋转45°,则第60秒时,旋转了45°×60=2700°,2700÷360=7.5(周),即OD旋转了7周半,故第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为(-1,-1).故选B.过能力·能力强化提升训练5.[2019江苏镇江外国语学校段测]如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,P为AB的中点,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP所在直线上的C'处,折痕为DE,则∠DEC=°.答案5.75【解析】如图,连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°,∴AB=AD,∠ADC=120°,∠C=60°,△ABD是等边三角形.∵P为AB的中点,∴DP平分∠ADB,∴∠ADP=30°,∴∠PDC=∠ADC-∠ADP=90°,由折叠可知∠CDE=∠PDE,∴∠CDE=45°,在△DEC中,∠DEC=180°-∠C-∠CDE=75°.过能力·能力强化提升训练6.如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E,F同时从A,C两点出发,分别沿AB,CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为.答案6.43【解析】如图,连接BD.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠ADB=12∠ADC=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AD=BD,∵△DEF是等边三角形,∴DE=DF,∠EDF=60°,又∵∠ADB=60°,∴∠ADE=∠BDF.在△ADE和△BDF中,𝐴𝐷=𝐵𝐷,∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵𝐷𝐹,𝐷𝐸=𝐷𝐹,∴△ADE≌△BDF(SAS),∴AE=BF.∵AE=tcm,CF=2tcm,∴BF=BC-CF=(4-2t)cm,∴t=4-2t,∴t=43.过能力·能力强化提升训练7.[2018内蒙古呼和浩特中考]如图,已知A,F,C,D四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.(1)求证:△ABC≌△DEF.(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.答案7.【解析】(1)∵AB∥DE,∴∠A=∠D.∵AF=CD,∴AF+CF=CD+CF,即AC=DF.在△ABC和△DEF中,𝐴𝐵=𝐷𝐸,∠𝐴=∠𝐷,𝐴𝐶=𝐷𝐹,∴△ABC≌△DEF.过能力·能力强化提升训练答案(2)四边形EFBC为菱形时,AF=75.如图,连接BE,交CF于点O.∵EF=3,DE=4,∠DEF=90°,∴DF=𝐸𝐹2+𝐷𝐸2=32+42=5.当四边形EFBC是菱形时,BE⊥CF,CF=2OF,∴∠EOF=90°.∵12DF×OE=12DE×EF=𝑆△𝐷𝐸𝐹,∴5OE=3×4,∴OE=125.在Rt△EFO中,OF=𝐸𝐹2−𝑂𝐸2=32−(125)2=95,∴CF=2OF=185,∴CD=DF-CF=5-185=75,∴AF=CD=75.过能力·能力强化提升训练8.[2020山东泰安模拟]在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上一点,F是线段BC的延长线上一点,且CF=AE,连接BE,EF.如图1,当点E是线段AC的中点时,易证BE=EF.(1)如图2,当点E不是线段AC的中点,其他条件不变时,请你判断结论:BE=