九年级数学上册专题七网格坐标系中的旋转作图及旋转证明同步测试新人教版

网格(坐标系)中的旋转作图及旋转证明一网格(坐标系)中的旋转作图(教材P62习题23.1第4题)分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形．图1解：逆时针旋转90°的图形如下：教材母题答图(1)逆时针旋转180°的图形如下：教材母题答图(2)【思想方法】网格(坐标系)中旋转作图的一般步骤：(1)找出原图形中的关键点；(2)确定旋转中心、旋转角及旋转方向；(3)根据旋转的性质作出关键点的对应点；(4)按原图的关键点连接顺序连接作出的所有点，并标上相应字母．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图2所示，将正方形ABCD绕D点顺时针方向旋转90°后，B点到达的位置坐标为(D)图2A．(－2，2)B．(4，1)C．(3，1)D．(4，0)【解析】作∠BDB′＝90°，且使B′D＝BD，则B′的坐标为(4，0)．故选D.(1)如图3(1)，在每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形方格纸中有△OAB，请将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA′B′.(2)折纸：如图3(2)，有一张矩形纸片ABCD，要将点D沿某条直线翻折180°，恰好落在BC边上的D′处，请在图中作出该直线．(1)(2)图3解：如图所示．(1)变形2答图(1)(2)变形2答图(2)如图4，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转变换得到的．(1)请写出旋转中心的坐标是__(0，0)__，旋转角是__90__度；(2)以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°，180°的三角形；(3)设Rt△ABC两直角边BC＝a，AC＝b，斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．图4变形3答图解：(2)画出图形如图所示；(3)由旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形．∵S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B＋4S△ABC，∴(a＋b)2＝c2＋4×12ab，即a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，∴a2＋b2＝c2.二旋转证明(教材P63习题23.1第10题)如图5，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？图5解：BE＝DC证明：∵△ABD是等边三角形，∴AB＝AD，∠BAD＝60°，同理得AE＝AC，∠EAC＝60°，∴以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60°就得到△ADC，∴△ABE≌△ADC，∴BE＝DC.【思想方法】旋转前、后的图形全等，借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．如图6，在等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是__19__．图6图7如图7，将一个钝角△ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.(1)写出旋转角的度数；(2)求证：∠A1AC＝∠C1.解：(1)旋转角的度数为60°.(2)证明：∵点A，B，C1在一条直线上，∴∠ABC1＝180°.∵∠ABC＝∠A1BC1＝120°，∴∠ABA1＝∠CBC1＝60°，∴∠A1BC＝60°.又∵AB＝A1B，∴△ABA1是等边三角形，∴∠AA1B＝∠A1BC＝60°，∴AA1∥BC，∴∠A1AC＝∠C.∵△ABC≌△A1BC1，∴∠C＝∠C1，∴∠A1AC＝∠C1.如图8(1)，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连接BE，CD，求证：BE＝CD；(2)如图8(2)，将△ABD绕点A顺时针旋转到△AB′D′.①当旋转角为________度时，边AD′落在边AE上；②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′.当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．(1)(2)图8解：(1)证明：∵△ABD，△ACE，都是等边三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，即∠BAE＝∠DAC.∴△BAE≌△DAC，∴BE＝CD.(2)①60；②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等，证明如下：由旋转可知AB′与AD重合，∴AB＝BD＝DD′＝AD′，∴四边形ABDD′是菱形，∴∠ABD′＝∠DBD′＝12∠ABD＝12×60°＝30°，DP∥BC.∵△ACE是等边三角形，∴AC＝AE，∠ACE＝60°.∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′，∴∠PCD′＝∠ACD′＝12∠ACE＝12×60°＝30°.∵DP∥BC，∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°.∴BD′＝CD′.∴△BDD′≌△CPD′.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°α60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)(2)图9(1)如图9(2)，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图9(2)，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．解：(1)30°－12α；(2)△ABE为等边三角形证明：连接AD，CD，ED∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.则BC＝BD，∠DBC＝60°又∵∠ABE＝60°∴∠ABD＝60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－12α；且△BCD为等边三角形．在△ABD与△ACD中AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD.∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝12α∵∠BCE＝150°∴∠BEC＝180°－(30°－12α)－150°＝12α.在△EBC与△ABD中∠BEC＝∠BAD，∠EBC＝∠ABD，BC＝BD.∴△ABD≌△EBC(AAS)∴AB＝BE又∵∠ABE＝60°∴△ABE为等边三角形(3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°.∴∠DCE＝150°－60°＝90°.∵∠DEC＝45°.∴△DCE为等腰直角三角形∴DC＝CE＝BC∵∠BCE＝150°.∴∠EBC＝180°－150°2＝15°而∠EBC＝30°－12α；∴α＝30°.